Dubbio lemma integrale di Riemann

[dave031]

non riesco proprio a farmi una ragione di questa cosa: uno dei primi lemmi nella definizione dell'integrale di Riemann dice che se prendo due suddivisioni D1 e D2 di un intervallo [a,b], e la suddivisione D1 contiene almeno un elemento in più della suddivisione D2 (D1 è "più fine" di D2) allora ho una serie di conseguenze, tra cui questa che non riesco a spiegarmi:
la somma degli estremi superiori di D2 è >= somma degli estremi superiori in D1...

la dimostrazione che da il mio libro si basa sul questa idea: sia z un elemento appartenente ad uno degli intervalli, ad esempio $(x_k,x_(k+1))$, definiti dalla suddivisione D2, immaginiamo che tale elemento interno crei altri due intervalli, ad esempio $(x_k,z) e (z,x_(k+1))$ Certamente avremo che l'estremo superiore dell'intervallo $(x_k,x_(k+1))$ sarà >= sia dell'estremo superiore di $(x_k,z)$ che dell'estremo superiore di $(z,x_(k+1))$.....allora la somma di tutti gli estremi superiori della suddivisione D2 sarà >= della somma di tutti gli estremi superiori della suddivisione D1.
ma allora io mi chiedo: se l'estremo superiore di $(x_k,x_(k+1))$ è sicuramente >= degli altri 2, questo non significa che esso sia >= della loro somma...allora come faccio a dire che questo è vero???

cioè, a me viene questo dubbio: supponiamo di dividere un intervallo [a,b] in 2 suddivisioni distinte D1 e D2, e supponiamo che D1 abbia un intervallo in più di D2. Poniamo che D2 divida [a,b] in un solo intervallo, il cui estremo superiore sia , ad esempio f(x)=10, mentre D1 divida [a,b] in 2 intervalli. Certamente gli estremi superiori di questi altri 2 intervalli saranno <= 10, ma la loro somma potrebbe essere superiore a 10...allora come fa ad asserire questo, sto teorema???

...in pratica non riesco a capire come si dimostra che la somma degli estremi superiori decresce (o rimane costante, senza però mai crescere) man mano che si delineano suddivisioni con più elementi....

[Fioravante Patrone1]

è solo questione di rettangoli e di "base per altezza"

la risposta alle tue angustie è che "stai trascurando le basi"

prendi l'esempio più facile:
- una partizione è fatta da solo [a,b]
- la seconda ha un punto in mezzo

supponi pure che il sup su [a,b] sia 10
fatti un disegnino e lo vedi!

analiticamente:

$10 * (b-a) = 10*(b-x_1) + 10*(x_1 - a) \ge $ sup $(su [x_1,b])*(b-x_1) + $ sup $(su [a,x_1])*(x_1 - a)$

scusa per le notazioni un po' allegre...

[dave031]

ho capito dove sbagliavo... come hai detto tu intendevo la sommatoria superiore come la somma degli estremi superiori di ogni intervallo, invece è la somma delle aree di ogni intervallo la cui altezza è data dagli estremi superiori.
grazie mille...come sempre qui sul forum trovo gente molto competente