Dubbio lampo sul teorema di Heine-Cantor
http://www.science.unitn.it/~baldo/aa2006/Diarioanalisi1/node19.html
Non mi è chiaro quando va a considerare la successione $y_(n_k)$ e a concludere che questa è convergente ad $x$
Sostanzialmente ho due successioni: $x_n , y_n$ a valori nel compatto tali che $| x_n - y_n | < 1/n$
Mandando $n -> oo$, troverei $|x_n - y_n | -> 0$. Questo è sufficiente a concludere che le due successioni convergono allo stesso limite?
Oppure potrebbero anche non convergere?
Non mi è chiaro quando va a considerare la successione $y_(n_k)$ e a concludere che questa è convergente ad $x$
Sostanzialmente ho due successioni: $x_n , y_n$ a valori nel compatto tali che $| x_n - y_n | < 1/n$
Mandando $n -> oo$, troverei $|x_n - y_n | -> 0$. Questo è sufficiente a concludere che le due successioni convergono allo stesso limite?
Oppure potrebbero anche non convergere?
Risposte
Sì, certo.
Il motivo di fondo è che $1/n to 0$ per $n to +oo$.
Comunque, se vuoi puoi dimostrare quanto affermi, basta scrivere le definizioni di limite e usare il solito argomento.
P.S. Scusa, rileggendo bene il messaggio forse il tuo dubbio era un altro: in ogni caso, tieni presente che nella dimostrazione scegli una sottosuccessione convergente (che esiste per B-W); quindi in questo "lemma", supponi che una delle due successioni sia convergente.
Mi sono spiegato? E' più chiaro?
Il motivo di fondo è che $1/n to 0$ per $n to +oo$.
Comunque, se vuoi puoi dimostrare quanto affermi, basta scrivere le definizioni di limite e usare il solito argomento.
P.S. Scusa, rileggendo bene il messaggio forse il tuo dubbio era un altro: in ogni caso, tieni presente che nella dimostrazione scegli una sottosuccessione convergente (che esiste per B-W); quindi in questo "lemma", supponi che una delle due successioni sia convergente.
Mi sono spiegato? E' più chiaro?
"Paolo90":
Sì, certo.
Il motivo di fondo è che $1/n to 0$ per $n to +oo$.
Comunque, se vuoi puoi dimostrare quanto affermi, basta scrivere le definizioni di limite e usare il solito argomento.
Grazie Paolo. Quindi avrei che $| x_n - y_n | -> 0$ , $x_n -> x$ dunque $y_n -> x$.
Dalla continuità di $f$ discende poi che $f(x_n) -> f(x)$ e $f(y_n) -> f(x)$ , quindi $|f(x_n) - f(y_n)| -> 0$ (assurdo).
Ma se fosse così semplice, perché andare a estrarre sottosuccessioni?
"Seneca":
[quote="Paolo90"]Sì, certo.
Il motivo di fondo è che $1/n to 0$ per $n to +oo$.
Comunque, se vuoi puoi dimostrare quanto affermi, basta scrivere le definizioni di limite e usare il solito argomento.
Grazie Paolo. Quindi avrei che $| x_n - y_n | -> 0$ , $x_n -> x$ dunque $y_n -> x$.
Dalla continuità di $f$ discende poi che $f(x_n) -> f(x)$ e $f(y_n) -> f(x)$ , quindi $|f(x_n) - f(y_n)| -> 0$ (assurdo).
Ma se fosse così semplice, perché andare a estrarre sottosuccessioni?[/quote]
dubbio che è venuto anche a me...
"Seneca":
[quote="Paolo90"]Sì, certo.
Il motivo di fondo è che $1/n to 0$ per $n to +oo$.
Comunque, se vuoi puoi dimostrare quanto affermi, basta scrivere le definizioni di limite e usare il solito argomento.
Grazie Paolo. Quindi avrei che $| x_n - y_n | -> 0$ , $x_n -> x$ dunque $y_n -> x$.
[/quote]
Questo si può giustificare meglio.
Tu hai due successioni $x_n, y_n$; sai che $x_n to x$ e che $|x_n-y_n|<1/n$. Vuoi mostrare che $y_n to x$.
Allora, evidentemente $1/n to 0$ per $n to +oo$, cioè fissato un $epsilon>0$ esiste $n_0 >0$ t.c. $n>=n_0 => 1/n
Inoltre, da $x_n to x$ hai che esiste un $n_1>0$ per cui $n>=n_1 => |x_n-x|
Ma allora, per $n>=max{n_0,n_1}$, $|y_n-x|=|x_n-y_n|+|x_n-x|<=...$
Lascio a te la conclusione.
____________________
Quanto alla domanda sulle sottosuccessioni, mi sa che ti sei perso nella dimostrazione
. Tu procedi per assurdo, neghi la tesi e dici: supponiamo che esista un $epsilon$ tale che ...
Ebbene, tu poni $delta=1/n$ e per ogni $delta$ (cioè per ogni $n$!) puoi trovare due punti per cui $|x_n-y_n|
Queste due successioni che costruisci ($x_n,y_n$) però a chi convergono? E prima ancora, sei sicuro che convergano?
E' qui allora che interviene l'ipotesi di compattezza (altrimenti inutile!): poichè $[a,b]$ è compatto e poichè le due successioni vivono lì dentro, per B-W puoi estrarre due sottosuccessioni convergenti $x_(nk)$ e $y_(nk)$; diciamo che convergono rispettivamente a $x$ e a $y$. Ora, e soltanto ora, puoi dire, usando quanto detto sopra, $x=y$ e quindi...
Chiaro?
E' tutto chiaro. Quindi il problema è, come pensavo, il seguente:
Potrebbero non convergere, donde il ragionamento sulle successioni estratte. Sbaglio?
Edit: Se una delle due converge, l'altra (come hai dimostrato) converge allo stesso limite. Ma in questo caso non si hanno informazioni sul comportamento delle successioni; si sa però che da queste si possono estrarre sottosuccessioni convergenti ad un punto di $[a , b]$.
"Paolo90":
Queste due successioni che costruisci ($x_n,y_n$) però a chi convergono? Sei sicuro che convergano?
Potrebbero non convergere, donde il ragionamento sulle successioni estratte. Sbaglio?
Edit: Se una delle due converge, l'altra (come hai dimostrato) converge allo stesso limite. Ma in questo caso non si hanno informazioni sul comportamento delle successioni; si sa però che da queste si possono estrarre sottosuccessioni convergenti ad un punto di $[a , b]$.
"Seneca":
E' tutto chiaro. Quindi il problema è, come pensavo, il seguente:
[quote="Paolo90"]
Queste due successioni che costruisci ($x_n,y_n$) però a chi convergono? Sei sicuro che convergano?
Potrebbero non convergere, donde il ragionamento sulle successioni estratte. Sbaglio?[/quote]
No, non sbagli.
Tutto chiaro?
"Seneca":
Edit: Se una delle due converge, l'altra (come hai dimostrato) converge allo stesso limite. Ma in questo caso non si hanno informazioni sul comportamento delle successioni; si sa però che da queste si possono estrarre sottosuccessioni convergenti ad un punto di $[a , b]$.
No, Seneca; il lemma non serve per le successioni, serve per le sottosuccessioni (che sono un particolare caso di successioni).
Ti torna questo passaggio?
Cristallino. Grazie. 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo