Dubbio integrali indefiniti

[Mdp11]

Salve a tutti, avevo un dubbio nello svolgimento di un integrale indefinito

$\int_-oo^(+oo)(senx)/(x(1+x^2))dx$

Per me i due seguenti svolgimenti dovrebbero essere equivalenti:

$\int_-oo^(+oo)(senx)/(x(1+x^2))dx = Im(\int_-oo^(+oo)(e^(jz))/(z(1+z^2))dz)$
ovvero considero come risultato del primo integrale la parte immaginaria del risultato del secondo.

$\int_-oo^(+oo)(senx)/(x(1+x^2))dx = \int_-oo^(+oo)(e^(jz))/(2jz(1+z^2))dz - \int_-oo^(+oo)(e^(-jz))/(2jz(1+z^2))dz$
ovvero scompongo il seno.

Eppure svolgendoli mi trovo risultati diversi (li ho fatti più volte)...
Sbaglio qualche conto o uno dei due svolgimenti è errato?

[chimi1]

facci vedere un po' come li svolgi

[Mdp11]

Ok la prma parte:

$\int_-oo^(+oo)(senx)/(x(1+x^2))dx = Im(\int_-oo^(+oo)(e^(jz))/(z(1+z^2))dz)$


I poli che mi interessano sono in $z=0$ e $z=j$.

$Res(0) = lim_{z \to \0} e^(jz)/(z*(z^2+1))*z = 1$

$Res(j) = lim_{z \to \j} e^(jz)/(z*(z+j)*(z-j))*(z-j) = e^(-1)/-2 = -1/(2e)$

Quindi :

$\int_-oo^(+oo)(e^(jz))/(z(1+z^2))dz = 2pij * ( -1/(2e) + 1/2*1) = -(pij)/e + pij = j(-pi/e + pi)$

E quindi :

$\int_-oo^(+oo)(senx)/(x(1+x^2))dx = -pi/e + pi$

Considerando invece:

$\int_-oo^(+oo)(senx)/(x(1+x^2))dx = 1/(2j)\int_-oo^(+oo)(e^(jz))/(z(1+z^2))dz - 1/(2j)\int_-oo^(+oo)(e^(-jz))/(z(1+z^2))dz$

Il primo pezzo sarà uguale al precedente, cioè:
$int_-oo^(+oo)(e^(jz))/(z(1+z^2))dz = -(pij)/e + pij$

Nel secondo invece, il residuo in 0 sarà uguale, mentre il residuo in -j sarà:

$Res(-j) = lim_{z \to \j} e^(-jz)/(z*(z+j)*(z-j))*(z+j) = e^(-1)/2 = 1/(2e)$

E quindi :

$int_-oo^(+oo)(e^(-jz))/(z(1+z^2))dz = -2pij (1/(2e) + 1/2) = -(pij)/e -pij$

In definitiva:

$\int_-oo^(+oo)(senx)/(x(1+x^2))dx = 1/(2j) * (-(pij)/e + pij) - 1/(2j) * (-(pij)/e -pij )= -pi/(2e) + pi/2 + pi/(2e) + pi/2 = (2pi)/2 = pi$

Come mai mi trovo due risultati diversi?

[chimi1]

Beh, tu stai applicando, come è giusto che sia, il teorema dei residui.
Il fatto è che, come tutte le cose in Matematica, non può essere applicato proprio a cuor leggero.Rileggi bene il suo enunciato. Innanzitutto, devi scegliere una regione in cui lavorare. Una volta fatto questo, al momento del calcolo dei residui, andrai a considerare solo quelli che cadono all'interno della regione scelta.Io nel tuo ragionamento non ho visto alcuna menzione a questa cosa.

Cito wiki:
Sia $\Omega$ un insieme aperto del piano complesso $\mathbb C$ . Siano $z_1,...,z_n$ punti di singolarità della funzione $\omega = f(z) in \Omega$. Sia inoltre $\gamma$ una curva semplice chiusa in $\Omega\setminus\{z_1,... ,z_n\}$ tale che $\{z_1,...,z_n\}$ sia contenuto nel sottoinsieme limitato di $\mathbb C$ delimitato da $\gamma$ .

Se f(z) è una funzione olomorfa su $\Omega \setminus\{z_1,\dots,z_n\}$ , allora l'integrale della funzione su $\gamma$ è dato dalla:
\[
\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 2\pi i \sum_{k=1}^n I_{z_k}(\gamma) \operatorname{Res}_{z_k}(f)
\]



In genere, come $\gamma$ va quasi sempre bene l'unione di una semicirconferenza e del tratto sull'asse x che essa sottende, solo che stavolta hai un problema: $z=0$ sta sull'asse x e questo non va bene. Non puoi avere una singolarità sul cammino su cui stai integrando. Per esempio puoi superare il problema disegnando una semicirconferenzina di raggio $\epsilon$ attorno allo zero e considerando come $\gamma$ proprio il nuovo percorso modificato. A seconda che la fai sotto o sopra questa semicirconferenza, dovrai rispettivamente considerare il residuo in $0$ o meno.
I residui li sai calcolare, quindi quello che c'è a destra nella formula non è un problema per te. A sinistra, invece, c'è un bell'integrale da calcolare su questo percorso ''modificato''. Lo devi spezzare, innanzitutto, perché tu vuoi trovare solo l'integrale esteso al tratto che è sull'asse x; tutto il resto lo devi calcolare e buttare a destra del segno di uguaglianza.


Ovviamente, anche la semicirconferenzina che hai aggiunto deve essere considerata nel computo dell'integrale ( per il calcolo dell'integrale esteso a quest'ultimo si usa il lemma del piccolo cerchio, ad esempio). Per quanto riguarda l'integrale sulla semicirconferenza grande, si prova che va a zero, quando il suo raggio tende all'infinito. Insomma, non è così facile come la fai tu.

Ho cercato di esser il più chiara possibile, ma non so se ci sono riuscita.
Se rivedi le cose dal libro di teoria e tieni conto di quel che ti ho detto, dovrebbe esserti tutto un po' più chiaro.

[dan952]

"Mdp11":$Res(−j)=lim_{z→-j}e^{-jz}/(z⋅(z+j)⋅(z−j))⋅(z+j)=e^{-1}/2$

È qui l'errore attento hai sbagliato un segno