Dubbio - Integrali impropri
Chiederò una cosa probabilmente ovvia.
Avendo il seguente integrale $I = int_a^(+oo) f(x) dx$, in analogia ciò che succede per le serie , è condizione necessaria per la convergenza di $I$ che $f(x) -> 0$ per $x -> +oo$?
Avendo il seguente integrale $I = int_a^(+oo) f(x) dx$, in analogia ciò che succede per le serie , è condizione necessaria per la convergenza di $I$ che $f(x) -> 0$ per $x -> +oo$?
Risposte
No.
Ad esempio, chiama:
[tex]$u(x):=\begin{cases} 1-|x| &\text{, se $|x|\leq 1$} \\ 0 &\text{, se $|x|\geq 1$} \end{cases}$[/tex]
in modo che il grafico di [tex]$u(x)$[/tex] è un triangolino d'area [tex]$=1$[/tex]; poi considera la funzione:
[tex]$f(x;a,b)=\sum_{n=0}^{+\infty} (-a)^n\ u(b^{n+1} (x-n))$[/tex]
ove [tex]$0
In figura una parte del grafico di [tex]$f(x;a,b)$[/tex] con [tex]$a=1.5$[/tex] e [tex]$b=2$[/tex].
[asvg]xmin=-2;xmax=3;ymin=-5;ymax=5;
axes("","");
stroke="red";
line([-3,0],[-0.5,0]); line([-0.5,0],[0,1.5]); line([0,1.5],[0.5,0]); line([0.5,0],[0.75,0]); line([0.75,0],[1,-2.25]); line([1,-2.25],[1.25,0]);
line([1.25,0],[1.875,0]); line([1.875,0],[2,3.375]); line([2,3.375],[2.125,0]); line([2.125,0],[2.9375,0]); line([2.9375,0],[3,-5.0625]); line([3,-5.0625],[3.0625,0]); line([3.0625,0],[3.96875,0]);
stroke="orange";
plot("(1.5)^(x+1)",0,4); plot("-(1.5)^(x+1)",0,4);[/asvg]
Conseguentemente l'integrale improprio di [tex]$f(x;a,b)$[/tex] esteso, ad esempio, all'intervallo [tex]$[-1,+\infty[$[/tex] uguaglia la somma delle aree dei suddetti triangolini (con i segni che loro competono):
[tex]$\int_{-1}^{+\infty} f(x;a,b)\ \text{d} x=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-a)^n}{b^{n+1}}$[/tex];
la serie a secondo membro converge assolutamente per ogni valore di [tex]$a$[/tex], perchè è imparentata alla serie geometrica di ragione [tex]$0 Ciononostante, se scegliamo [tex]$a>1$[/tex] la funzione [tex]$f(x;a,b)$[/tex] ha [tex]$\limsup_{x\to +\infty} f(x;a,b)=+\infty$[/tex] e [tex]$\liminf_{x\to +\infty} f(x;a,b)=-\infty$[/tex], giacché [tex]$f(n;a,b)=(-a)^n$[/tex].
Una condizione necessaria all'integrabilità assoluta in senso improprio su un intervallo non limitato è [tex]$\liminf_{x\to +\infty} |f(x)|=0$[/tex] (perchè, detto in parole poverissime, se il minimo limite fosse [tex]$=\lambda>0$[/tex] allora il grafico di [tex]$f(x)$[/tex] sarebbe "poggiato" su una striscia infinita di altezza [tex]$\lambda$[/tex], la quale ha area infinita); però meglio di così non si può fare.
Se vuoi un altro esempio, considera la funzione:
[tex]$v(x):=\begin{cases} 1 &\text{, se $0\leq x< 1$} \\ 0 &\text{, altrimenti}\end{cases}$[/tex],
e studia l'integrabilità di:
[tex]$g(x):=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n+1}\ v(x-n)$[/tex]
(il cui grafico è parzialmente rappresentato in figura).
[asvg]xmin=0;xmax=4;ymin=-1;ymax=1;
axes("","");
stroke="dodgerblue";
line([0,1],[1,1]); line([1,-0.5],[2,-0.5]); line([2,0.25],[3,0.25]); line([3,-0.125],[4,-0.125]); line([4,0.0625],[5,0.0625]);
dot([0,1]); dot([1,-0.5]); dot([2,0.25]); dot([3,-0.125]); dot([4,0.0625]);[/asvg]
Ad esempio, chiama:
[tex]$u(x):=\begin{cases} 1-|x| &\text{, se $|x|\leq 1$} \\ 0 &\text{, se $|x|\geq 1$} \end{cases}$[/tex]
in modo che il grafico di [tex]$u(x)$[/tex] è un triangolino d'area [tex]$=1$[/tex]; poi considera la funzione:
[tex]$f(x;a,b)=\sum_{n=0}^{+\infty} (-a)^n\ u(b^{n+1} (x-n))$[/tex]
ove [tex]$0
In figura una parte del grafico di [tex]$f(x;a,b)$[/tex] con [tex]$a=1.5$[/tex] e [tex]$b=2$[/tex].
[asvg]xmin=-2;xmax=3;ymin=-5;ymax=5;
axes("","");
stroke="red";
line([-3,0],[-0.5,0]); line([-0.5,0],[0,1.5]); line([0,1.5],[0.5,0]); line([0.5,0],[0.75,0]); line([0.75,0],[1,-2.25]); line([1,-2.25],[1.25,0]);
line([1.25,0],[1.875,0]); line([1.875,0],[2,3.375]); line([2,3.375],[2.125,0]); line([2.125,0],[2.9375,0]); line([2.9375,0],[3,-5.0625]); line([3,-5.0625],[3.0625,0]); line([3.0625,0],[3.96875,0]);
stroke="orange";
plot("(1.5)^(x+1)",0,4); plot("-(1.5)^(x+1)",0,4);[/asvg]
Conseguentemente l'integrale improprio di [tex]$f(x;a,b)$[/tex] esteso, ad esempio, all'intervallo [tex]$[-1,+\infty[$[/tex] uguaglia la somma delle aree dei suddetti triangolini (con i segni che loro competono):
[tex]$\int_{-1}^{+\infty} f(x;a,b)\ \text{d} x=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-a)^n}{b^{n+1}}$[/tex];
la serie a secondo membro converge assolutamente per ogni valore di [tex]$a$[/tex], perchè è imparentata alla serie geometrica di ragione [tex]$0 Ciononostante, se scegliamo [tex]$a>1$[/tex] la funzione [tex]$f(x;a,b)$[/tex] ha [tex]$\limsup_{x\to +\infty} f(x;a,b)=+\infty$[/tex] e [tex]$\liminf_{x\to +\infty} f(x;a,b)=-\infty$[/tex], giacché [tex]$f(n;a,b)=(-a)^n$[/tex].
Una condizione necessaria all'integrabilità assoluta in senso improprio su un intervallo non limitato è [tex]$\liminf_{x\to +\infty} |f(x)|=0$[/tex] (perchè, detto in parole poverissime, se il minimo limite fosse [tex]$=\lambda>0$[/tex] allora il grafico di [tex]$f(x)$[/tex] sarebbe "poggiato" su una striscia infinita di altezza [tex]$\lambda$[/tex], la quale ha area infinita); però meglio di così non si può fare.
Se vuoi un altro esempio, considera la funzione:
[tex]$v(x):=\begin{cases} 1 &\text{, se $0\leq x< 1$} \\ 0 &\text{, altrimenti}\end{cases}$[/tex],
e studia l'integrabilità di:
[tex]$g(x):=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n+1}\ v(x-n)$[/tex]
(il cui grafico è parzialmente rappresentato in figura).
[asvg]xmin=0;xmax=4;ymin=-1;ymax=1;
axes("","");
stroke="dodgerblue";
line([0,1],[1,1]); line([1,-0.5],[2,-0.5]); line([2,0.25],[3,0.25]); line([3,-0.125],[4,-0.125]); line([4,0.0625],[5,0.0625]);
dot([0,1]); dot([1,-0.5]); dot([2,0.25]); dot([3,-0.125]); dot([4,0.0625]);[/asvg]
Sei stato chiarissimo; come sempre. Ho capito l'inghippo, ti ringrazio.
Ora tocca a me: se la funzione integranda fosse infinitesima di ordine superiore all'infinito l'integrale improprio è convergente oppure ci sono controesempi? Lo chiedo perché non ho trovato nulla sui libri a disposizione, tra cui la condizione necessaria da te scritta gugo!
"j18eos":
se la funzione integranda fosse infinitesima di ordine superiore all'infinito
Cosa significa questo?
Di ordine superiore rispetto a quale funzione?
Un esempio molto più carino, senza offesa all'ottima esposizione di Gugo, è $f(x)=sin(x^2)$ che ha integrale improprio convergente su (0,+infinito), eppure non ammette limite. (Rispetta però la condizione che l'elemento minimo della classe limite della funzione in valore assoluto, per x che tende a più infinito, è 0).
"j18eos":
Ora tocca a me: se la funzione integranda fosse infinitesima all'infinito di ordine superiore ad $1$ l'integrale improprio è convergente oppure ci sono controesempi? Lo chiedo perché non ho trovato nulla sui libri a disposizione, tra cui la condizione necessaria da te scritta gugo!
Certo che ci sono.
Prendi:
[tex]$f(x):=\frac{1}{x\ln x}$[/tex] e [tex]$g(x):=\frac{1}{x\ln^2 x}$[/tex] in [tex]$[2,+\infty[$[/tex];
la prima ha integrale improprio divergente e la seconda integrale improprio convergente: infatti:
[tex]$\int_2^{+\infty} f(x)\ \text{d} x=\lim_{r\to +\infty} [\ln \ln x]_2^r =\lim_{r\to +\infty} \ln \frac{\ln r}{\ln 2} =+\infty$[/tex]
[tex]$\int_2^{+\infty} g(x)\ \text{d} x=\lim_{r\to +\infty} \left[ \frac{-1}{\ln x}\right]_2^r =\lim_{r\to +\infty} \frac{1}{\ln 2} -\frac{1}{\ln r}=\frac{1}{\ln 2}$[/tex].
In generale, per garantire la convergenza assoluta di un integrale improprio non basta che la funzione integranda sia infinitesima d'ordine superiore ad [tex]$1$[/tex] in [tex]$+\infty$[/tex]; bisogna richiedere che sia infinitesima d'ordine superiore ad un numero [tex]$\alpha >1$[/tex] (condizione che non è rispettata da nessuna delle due funzioni proposte, le quali sono infinitesima d'ordine superiore ad [tex]$1$[/tex], ma d'ordine inferiore rispetto ad ogni [tex]$\alpha >1$[/tex]).
P.S.: Nota, tra l'altro, che [tex]$g(x)$[/tex] è infinitesima d'ordine superiore ad [tex]$f(x)$[/tex] in [tex]$+\infty$[/tex].
Ma è addirittura possibile costruire due successioni di funzioni [tex]$(f_n),(g_n)$[/tex] in [tex]$[2,+\infty[$[/tex] tali che:
- le [tex]$f_n$[/tex] hanno integrale improprio divergente;
- le [tex]$g_n$[/tex] hanno integrale improprio convergente;
- per ogni [tex]$n\in \mathbb{N}$[/tex], [tex]$g_{n+1}\prec f_{n+1}\prec g_n\prec f_n$[/tex] e, per ogni [tex]$\alpha >1$[/tex], [tex]$\tfrac{1}{x} \prec f_n,\ g_n\prec \tfrac{1}{x^\alpha}$[/tex] (col simbolo [tex]$u \prec v$[/tex] denoto la relazione "[tex]$u$[/tex] è infinitesimo d'ordine superiore a [tex]$v$[/tex]").
@Seneca Sto diventando disortografico a soli 25 anni! 
@Gugo82 La mia domanda era un'altra ancora, ma mi hai delucidato lo stesso il dubbio che avevo. Grazie!
@Gugo82 La mia domanda era un'altra ancora, ma mi hai delucidato lo stesso il dubbio che avevo. Grazie!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo