Dubbio integrali impropri

[Appinmate]

Buongiorno ho un dubbio sulla risoluzione di questo integrale improprio: $int_{1}^{+infty} log^a(2+x)/sqrt(x^2-1) dx$..$ int_{2}^{+infty}$ penso si debba risolvere vedendolo asintotico a $int_{2}^{+infty} log^a(x)/x$ è giusto? invece $int_{1}^{2}$ posso considerare $log^a(2+x)$ come costante e portarla fuori dall'integrale così in sto modo non entra in gioco per la convergenza? e quindi verificare la convergenza di $int_{1}^{2} 1/sqrt(x^2-1)$? e quindi quest'ultimo converge per ogni a? oppure procedo per sostituzione e vedo che il secondo integrale è equivalente a $int_{3}^{+infty} log^a(y)/sqrt((y-2)^2-1)$. Grazie in anticipo.

[cooper1]

scusa mi sono sono perso nel continuo cambio di estremi integrazione (in particolare quello inferiore).
abbiamo l'integrale:
$int_(1)^(+oo)(log^a(2+x))/(sqrt(x^2-1))dx$ e dobbiamo valutarne la convergenza al variare di $a in RR$. è corretto?
se sì dobbiamo valutare il comportamento della funzione in un intorno di $+oo$ e di 1 (-1 è infatti fuori dall'intervallo di integrazione).
partiamo da $U(1)$:
$f(x):=(log^a(2+x))/(sqrt(x^2-1))=(log^a(2+x))/( sqrt( (x-1)(x+1) ) ) ~~ (log^a(3))/(sqrt2 sqrt(x-1))$ che converge pr confronto asintotico perchè $1/2<1 AAa in RR$
se invece siamo in $U(+oo)$
$f(x )~~ 1/(x log^(-a)(x))$ che per confronto con l'integrale notevole converge se e solo se $a<1$
nel complesso quindi l'integrale di partenza converge se $a < 1$

[Appinmate]

Perfetto grazie mille!

[cooper1]

una "piccola" correzione: ho cambiato il verso della disequazione ma non il segno ad 1. l'integrale converge per $a<-1$

[Appinmate]

Si si chiarissimo! Involontariamente avevo già letto -1