Dubbio integrali...
Mi domandavo dato un integrale del tipo $int_(-infty)^(+infty)(x/(1+x^10))$ Dato che il calcolo dell'integrale in questione risulta piuttosto logorroico e complesso... Dato che la funzione è una funzione dispari se era giusto porre l'integrale direttamente uguale a 0...
Il libro mi dice che ad esempio per $int_(-infty)^(+infty)(1/(1+x^2))$ essendo pari la funzione potevo applicare la proprietà per la quale $2int_(0)^(+infty)(1/(1+x^2))$... e mi chiedevo quindi se era corretto fare lo stesso anche cmq per la funzioni dispari
Un grazie a chiunque rispondesse
Ps. il dubbio nasce dal fatto che si tratta di un integrale improprio e il libro accenna a malapena se sia matematicamente corretto il fatto che cmq trattandosi di simboli e non cifre precise sia giusto applicare le formule che ho citato...
Il libro mi dice che ad esempio per $int_(-infty)^(+infty)(1/(1+x^2))$ essendo pari la funzione potevo applicare la proprietà per la quale $2int_(0)^(+infty)(1/(1+x^2))$... e mi chiedevo quindi se era corretto fare lo stesso anche cmq per la funzioni dispari
Un grazie a chiunque rispondesse
Ps. il dubbio nasce dal fatto che si tratta di un integrale improprio
e il libro accenna a malapena se sia matematicamente corretto il fatto che cmq trattandosi di simboli e non cifre precise sia giusto applicare le formule che ho citato...
Risposte
"V3rgil":
Dato che il calcolo dell'integrale in questione risulta piuttosto logorroico e complesso...
Me lo vedo il calcolo che ti sommerge di parole
Quanto alla tua domanda, io risponderei che se la funzione integranda è dispari (attento: la tua funzione integranda non è dispari) e l'integrale generalizzato esiste, allora vale zero.
Comunque secondo me forse ti conveniva domandare in "Università". Mia opinione.
Beh, a me sembra che $x/(1+x^10)$ sia dispari. Infatti $f(-x)=(-x)/(1+(-x)^10)=-x/(1+x^10)=-f(x)$...
Cavolo è vero 
Pardon, nella mia testa 10 era dispari. A volte ho un calo di zuccheri.
Pardon, nella mia testa 10 era dispari. A volte ho un calo di zuccheri.
;D grazie per le risposte ora riscrivo tale e quale in università se magari qualche mod può cancellare o chiudere il topic
pps. cmq la funzione dovrebbe essere integrabile essendo razionale fratta di dominio R... poì xD non so ... l'integrale so che esiste sempre...
in università se magari qualche mod può cancellare o chiudere il topic pps. cmq la funzione dovrebbe essere integrabile essendo razionale fratta di dominio R... poì xD non so ... l'integrale so che esiste sempre...
Nel messaggio che V3rgil aveva ri-proposto in Università c'era questa agguinta
"V3rgil":
Inoltre nel caso specifico $int_(-infty)^(+infty)(x/(1+x^10))$ (che è quello che più mi preme sapere) penso sia corretto visto che cmq l'integrale esisterà essendo una razionale fratta con $Dominio=R$...
Denghiù per lo spostamento
Sì, puoi scrivere zero.
La motivazione è la seguente: l'integrando è infinitesimo d'ordine $alpha=9>1$ in $pm oo$ perciò l'integrale in questione è assolutamente convergente ed il suo valore coincide col $"VP"\int_(-oo)^(+oo) x/(1+x^(10))" d"x=lim_(R to +oo)\int_(-R)^(R)x/(1+x^(10))" d"x$ (questo si chiama valore principale (secondo Cauchy) dell'integrale improprio, per questo c'è il simbolino $"VP"$ davanti al segno d'integrale!)*; visto che:
$AA R>0, \int_(-R)^(R)x/(1+x^(10))" d"x=\int_(-R)^0x/(1+x^(10))" d"x+\int_0^Rx/(1+x^(10))" d"x=-\int_0^Rx/(1+x^(10))" d"x+\int_0^Rx/(1+x^(10))" d"x=0$
per la disparità dell'integrando, risulta $"VP"\int_(-oo)^(+oo) x/(1+x^(10))" d"x=lim_(R to +oo)0=0$ e pertanto $\int_(-oo)^(+oo)x/(1+x^(10))" d"x=0$.
__________
*In generale non è sempre vero che $\int_(-oo)^(+oo)f(x)" d"x="VP"\int_(-oo)^(+oo)f(x)" d"x$, poichè il primo membro può non avere significato. Ad esempio la funzione $f(x)=(2x)/(1+x^2)$, definita in $RR$, non ha integrale convergente (nè assolutamente, il che è ovvio perchè in $pm oo$ è infinitesima d'ordine uno, nè semplicemente, poichè comunque si fissi $c in RR$ risulta $\int_(-oo)^c f(x)" d"x=-oo$ e $\int_c^(+oo) f(x)" d"x=+oo$), però ha l'integrale a valore principale nullo; lo stesso dicasi della funzione $f(x)=arctan x$.
La motivazione è la seguente: l'integrando è infinitesimo d'ordine $alpha=9>1$ in $pm oo$ perciò l'integrale in questione è assolutamente convergente ed il suo valore coincide col $"VP"\int_(-oo)^(+oo) x/(1+x^(10))" d"x=lim_(R to +oo)\int_(-R)^(R)x/(1+x^(10))" d"x$ (questo si chiama valore principale (secondo Cauchy) dell'integrale improprio, per questo c'è il simbolino $"VP"$ davanti al segno d'integrale!)*; visto che:
$AA R>0, \int_(-R)^(R)x/(1+x^(10))" d"x=\int_(-R)^0x/(1+x^(10))" d"x+\int_0^Rx/(1+x^(10))" d"x=-\int_0^Rx/(1+x^(10))" d"x+\int_0^Rx/(1+x^(10))" d"x=0$
per la disparità dell'integrando, risulta $"VP"\int_(-oo)^(+oo) x/(1+x^(10))" d"x=lim_(R to +oo)0=0$ e pertanto $\int_(-oo)^(+oo)x/(1+x^(10))" d"x=0$.
__________
*In generale non è sempre vero che $\int_(-oo)^(+oo)f(x)" d"x="VP"\int_(-oo)^(+oo)f(x)" d"x$, poichè il primo membro può non avere significato. Ad esempio la funzione $f(x)=(2x)/(1+x^2)$, definita in $RR$, non ha integrale convergente (nè assolutamente, il che è ovvio perchè in $pm oo$ è infinitesima d'ordine uno, nè semplicemente, poichè comunque si fissi $c in RR$ risulta $\int_(-oo)^c f(x)" d"x=-oo$ e $\int_c^(+oo) f(x)" d"x=+oo$), però ha l'integrale a valore principale nullo; lo stesso dicasi della funzione $f(x)=arctan x$.
M'è abbastanza chiaro solo che no avendo studiato ancora mi potresti spiegare perché se l'ordine dell'infinitesimo è maggiore di 1 allora l'integrale definito sarà convergente...
(differenza convergenza assoluta e semplice)
E se casomai non è di troppo disturbo xD anche spiegarmi come cauchy è arrivato al vp perché cercando su internet non trovo nada
che no avendo studiato ancora mi potresti spiegare perché se l'ordine dell'infinitesimo è maggiore di 1 allora l'integrale definito sarà convergente... (differenza convergenza assoluta e semplice)
E se casomai non è di troppo disturbo xD anche spiegarmi come cauchy
è arrivato al vp perché cercando su internet non trovo nada
"V3rgil":
M'è abbastanza chiaro solo
(differenza convergenza assoluta e semplice)
Innanzitutto noto che se $alpha>1$ la funzione $1/x^alpha$ ha integrale indefinito $1/((1-alpha)x^(alpha-1))$; inoltre comunque si fissino $a<0
$\int_b^(+oo)1/|x|^alpha" d"x=\int_b^(+oo)1/x^alpha" d"x=1/(alpha-1)/b^(alpha-1)$
$\int_(-oo)^a1/|x|^alpha" d"x=\int_(|a|)^(+oo)1/x^alpha" d"x=1/(alpha-1)1/|a|^(alpha-1)$
cosicchè i due integrali di $1/|x|^alpha$ estesi a qualunque intervallo del tipo $]-oo,a]$ e $[b, +oo[$ (con $a<0
Dire che una funzione $f$ è infinitesima d'ordine $alpha$ (rispetto ad $1/x$) in $pm oo$ significa dire che esistono finiti e non nulli entrambi i limiti $lim_(x to pmoo) (|f(x)|)/(|x|^alpha)$ e $lim_(x to pmoo) (|x|^alpha)/(|f(x)|)$.
In tale ipotesi esistono certamente quattro numeri $L,M> 0$ ed $a<0
Poichè $fle|f|$ in tutto $RR$, la finitezza dell'integrale di $|f|$ implica la finitezza dell'integrale di $f$ ed in particolare risulta $\int_(-oo)^(+oo)f(x)" d"xle \int_(-oo)^(+oo)|f(x)|" d"x$: pertanto se $|f|$ è integrabile in $RR$ ed ha integrale finito, pure $f$ è integrabile ed ha integrale finito. Quando si verifica questa circostanza, si dice che $f$ è sommabile in $RR$ oppure che l'integrale $\int_(-oo)^(+oo) f(x)" d"x$ è assolutamente convergente.
Il succo della questione è che una funzione sommabile ha sempre integrale finito e che il suo integrale può essere calcolato "come si vuole" senza cambiare il risultato: in particolare puoi calcolare l'integrale ricorrendo alla formula del valore principale che ti ho segnalato prima.
Se, invece, la funzione $|f|$ non ha integrale finito (ovverosia se $f$ non è sommabile) allora circa l'integrale improprio $\int_(-oo)^(+oo) f(x)" d"x$ non si può dire nulla in generale: nè che esista finito, nè che esista infinito, nè addirittura che esista.
"V3rgil":
E se casomai non è di troppo disturbo xD anche spiegarmi come cauchy
Beh, il signor Cauchy penso sia arrivato alla formulazione dell'integrale a valor principale volendo chiarire cosa si intende col simbolo $\int_(-oo)^(+oo)f(x)" d"x$; purtroppo per lui la definizione di integrale improprio come valore principale era deboluccia: infatti se la funzione integranda non è sommabile, l'integrale improprio può ad esempio essere calcolato così $lim_(R to +oo)\int_(-2R)^R f(x)" d"x$ e dare tutt'altro risultato rispetto al $"VP"\int_(-oo)^(+oo)f(x)" d"x$; così si è cercata una definizione alternativa dell'integrale improprio e oggi è accettata questa:
Si dice che una funzione $f$ è integrabile in $RR$ se e solo se verifica due condizioni:
1) essa è integrabile in ogni intervallo limitato $[a,b]$;
2) esiste un $c in RR$ tale che gli integrali $\int_(-oo)^c f(x)" d"x=lim_(r to -oo)\int_r^cf(x)" d"x$ o $\int_c^(+oo)f(x)" d"x=lim_(Rto +oo) \int_c^Rf(x)" d"x$ esistono finiti.
Spero d'esserti stato utile.
Buono studio.
P.S.: Vedi su wikipedia qui per qualche info.
Grazie di tutto e per la pazienza 
Ancora io 
ccusami e che rileggendo mi sono accorto di non aver capito una parte che su wiki non spiega hm perché l'integrale improprio sommabile (che ammette valore finito, e quindi converge) e il valore principale coincidono?? se puoi rispondere anche a queste te ne sarei grato xD senno rimango con il dubbio
In sostanza perché si ha $int_(-oo)^(+oo) x/(1+x^(10))="VP"\int_(-oo)^(+oo) x/(1+x^(10))" d"x=lim_(R to +oo)\int_(-R)^(R)x/(1+x^(10))" d"x$??
Mi sbaglierò tra l'altro però penso di aver capito xD due cose sul valore principale ditemi se sono corrette:
1) Quando l'integrale non è sommabile il significato geometrico del valore principale restituisce l'integrale della parte di piano compresa nel 1° quadrante (questo l'ho intuito da alcuni esempi che ho visto... ma non ho capito il perché)
2) se l'integrale è sommabile è possibile applicare l'uguaglianza con il valore principale solo quando la funzione sia simmetrica rispetto allo zero, all'origine (a sostegno di questa ipotesi xD m'è venuta in mente quando ho letto "valore principale di Cauchy improprio sullo zero" in un esercizio...) ed in questo caso se fosse come ho appena enunciato avrei capito perfettamente perché sussiste l'uguaglianza $int_(-oo)^(+oo) x/(1+x^(10))="VP"\int_(-oo)^(+oo) x/(1+x^(10))" d"x$ Poiché si intuisce facilmente da un grafico simmetrico nell'origine quale ad esempio il sottostante il perché ponendo la stessa variabile tendente a infinito il risultato dell'integrale si trovi...
[asvg]axes(); // visualizza gli assi
stroke="red"; // seleziona il colore rosso
plot("x/(1+x^10)"); // disegna la funzione seno[/asvg]
In poche parole perché le variabili t e s usate per $+infty$ e $-infty$ tenderebbero alla stessa "velocità" sulla curva a $+-infty$ ed essendo simmetriche rispetto all'origine ad una t positiva corrisponde una s negativa e uguale in valore assoluto... Da cui penso sia giusto porre |T|=|S| ed in particolare -t=s e quindi utilizzare una sola variabile tendente a $+nfty$ nel limite...
Queste sono mie supposizioni xD ditemi voi se son giuste
ccusami e che rileggendo mi sono accorto di non aver capito una parte che su wiki non spiega hm perché l'integrale improprio sommabile (che ammette valore finito, e quindi converge) e il valore principale coincidono?? se puoi rispondere anche a queste te ne sarei grato xD senno rimango con il dubbio In sostanza perché si ha $int_(-oo)^(+oo) x/(1+x^(10))="VP"\int_(-oo)^(+oo) x/(1+x^(10))" d"x=lim_(R to +oo)\int_(-R)^(R)x/(1+x^(10))" d"x$??
Mi sbaglierò tra l'altro però penso di aver capito xD due cose sul valore principale ditemi se sono corrette:
1) Quando l'integrale non è sommabile il significato geometrico del valore principale restituisce l'integrale della parte di piano compresa nel 1° quadrante (questo l'ho intuito da alcuni esempi che ho visto... ma non ho capito il perché)
2) se l'integrale è sommabile è possibile applicare l'uguaglianza con il valore principale solo quando la funzione sia simmetrica rispetto allo zero, all'origine (a sostegno di questa ipotesi xD m'è venuta in mente quando ho letto "valore principale di Cauchy improprio sullo zero" in un esercizio...) ed in questo caso se fosse come ho appena enunciato avrei capito perfettamente
perché sussiste l'uguaglianza $int_(-oo)^(+oo) x/(1+x^(10))="VP"\int_(-oo)^(+oo) x/(1+x^(10))" d"x$ Poiché si intuisce facilmente da un grafico simmetrico nell'origine quale ad esempio il sottostante il perché ponendo la stessa variabile tendente a infinito il risultato dell'integrale si trovi...[asvg]axes(); // visualizza gli assi
stroke="red"; // seleziona il colore rosso
plot("x/(1+x^10)"); // disegna la funzione seno[/asvg]
In poche parole perché le variabili t e s usate per $+infty$ e $-infty$ tenderebbero alla stessa "velocità" sulla curva a $+-infty$ ed essendo simmetriche rispetto all'origine ad una t positiva corrisponde una s negativa e uguale in valore assoluto... Da cui penso sia giusto porre |T|=|S| ed in particolare -t=s e quindi utilizzare una sola variabile tendente a $+nfty$ nel limite...
Queste sono mie supposizioni xD ditemi voi se son giuste
Rettifico l'ultima parte di quello che ho detto, dato che ora ho pensato che possono benissimo trattarsi di due infiniti diversi e non dagli stessi valori ... Non riesco proprio a capire perché il valore principale di cauchy sia uguale (quando l'integrale converge) all'integrale tra $-infty$ e $+infty$...
Scusatemi il triplo post xD solo che le mie facolta calano mentali calano notevolmente quando c'è qualcosa che non riesco a capire, e rimango concentrato solo su quello finché non ho capito... schiusmi
Scusatemi il triplo post xD solo che le mie facolta calano mentali calano notevolmente quando c'è qualcosa che non riesco a capire, e rimango concentrato solo su quello finché non ho capito...
schiusmi
La sommabilità di $f$ assicura che si può scrivere l'uguaglianza:
$\int_(-oo)^(+oo)f(x)" d"x=lim_(rto -oo)\int_r^cf(x)" d"x+lim_(Rto +oo)\int_c^Rf(x)" d"x$
comunque scegli $c in RR$ (è questo che intendevo con calcolare l'integrale "come si vuole" senza cambiare risultato nel mio post precedente).
Quindi nell'ipotesi di sommabilità dell'integrando puoi scegliere il punto $c$ e le due variabili di limite $r,R$ come più ti fa comodo: nel caso in esame è comodo scegliere $c=0$ e, $R>0$ ed $r=-R$ per le proprietà di simmetria dell'integrando e con tale scelta l'uguaglianza precedente diviene:
$\int_(-oo)^(+oo)f(x)" d"x=lim_(Rto +oo)\int_(-R)^cf(x)" d"x+lim_(Rto +oo)\int_c^Rf(x)" d"x=\int_(-oo)^(+oo)f(x)" d"x=lim_(Rto +oo)\int_(-R)^Rf(x)" d"x="VP"\int_(-oo)^(+oo)f(x)" d"x$.
Se, ad esempio, avessi avuto l'integrando nella forma $f(x)=(x-2)/(1+(x-2)^(10))$ avresti scelto $c=2$, $R=2+t$ ed $r=2-t$ con $t>0$ così da avere l'integrale principale di $f$ centrato in $2$.
$\int_(-oo)^(+oo)f(x)" d"x=lim_(rto -oo)\int_r^cf(x)" d"x+lim_(Rto +oo)\int_c^Rf(x)" d"x$
comunque scegli $c in RR$ (è questo che intendevo con calcolare l'integrale "come si vuole" senza cambiare risultato nel mio post precedente).
Quindi nell'ipotesi di sommabilità dell'integrando puoi scegliere il punto $c$ e le due variabili di limite $r,R$ come più ti fa comodo: nel caso in esame è comodo scegliere $c=0$ e, $R>0$ ed $r=-R$ per le proprietà di simmetria dell'integrando e con tale scelta l'uguaglianza precedente diviene:
$\int_(-oo)^(+oo)f(x)" d"x=lim_(Rto +oo)\int_(-R)^cf(x)" d"x+lim_(Rto +oo)\int_c^Rf(x)" d"x=\int_(-oo)^(+oo)f(x)" d"x=lim_(Rto +oo)\int_(-R)^Rf(x)" d"x="VP"\int_(-oo)^(+oo)f(x)" d"x$.
Se, ad esempio, avessi avuto l'integrando nella forma $f(x)=(x-2)/(1+(x-2)^(10))$ avresti scelto $c=2$, $R=2+t$ ed $r=2-t$ con $t>0$ così da avere l'integrale principale di $f$ centrato in $2$.
Ora finalmente ci vedo era una stupidaggine
Grazie tantissimo e scusami ancora per la mia impazienza e "stoltezza"
era una stupidaggineGrazie tantissimo e scusami ancora per la mia impazienza e "stoltezza"
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