Dubbio integrale superficiale

[nadia891]

Sera,
ripropongo un integrale superficiale postato.
Devo calcolare l'area superficiale di $ x^2+y^2+z^2 <=1 , z>=0$.
nella risolzione riporta che questo insieme è unione di due insiemi ${ x^2+y^2 <=1 , z=0}$ e $ {x^2+ y^2 <=1 , z=sqrt(1-x^2-y^2)}$e di questi studio i rispettivi integrali superficiali.
Ma non è stato trascurato anche caso ${0< z

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Risposte

Quinzio

24 gen 2012, 18:31

Mi sa di no.
Nell'insieme che hai aggiunto tu, quando x=y=0 , non si riesce neanche a calcolare la radice (di -1).

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nadia891

24 gen 2012, 18:42

scusate c'è uno sbaglio.ho modificato.

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Quinzio

24 gen 2012, 19:09

Ok, Nadia, ma quello che hai messo tu torna a ridefinire quello che era già stato definito. Inoltre tu definisci un volume, mentre le altre due equazioni della risoluzione sono superfici, com'è corretto che sia.
Infatti scrivono z=.... non z<
Le due equazioni corrispondono al cerchio che fa da coperchio sottostante e poi alla calotta superiore.

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nadia891

24 gen 2012, 19:12

quindi bastano quelle due unioni perchè aggiungendo caso $ 0

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Quinzio

24 gen 2012, 19:13

Si, è così.

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nadia891

24 gen 2012, 19:45

e se invece devo studiare l'area di :${1<=x^2+y^2<=9, x^2+z^2-9<=y<=0}$ ? io ho studiato gli integrali nell'unione : ${1<=x^2+y^2<=9,y=0}$e ${1<=x^2+y^2<=9, y=x^2+z^2-9}$ ma nella soluzione porta anche il caso dell'area della superficie interna del cilindro..

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Quinzio

24 gen 2012, 20:20

Qui non mi sembra affatto semplice.
C'è l'area del parabolide, il fondo (privato di una striscia centrale), al posto dell striscia centrale c'è la superficie interna del cilindro.
Il problema è che la superficie interna del cilindro non è semplcemente una sezione del cilindro, ma ha i bordi smussati. Lo stesso dicasi per il parabolide, a cui mancano due semi cerchi (a causa del cilindro).
Ci vorrebbe un disegno 3d per capire meglio, ma comunque non mi sembra una passeggiata il calcolo di quell'area.

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nadia891

24 gen 2012, 20:27

quindi in questo caso non devo semplicemente studiare gli integrali su ${1<=x^2+y^2<=9, y=0}e{1<=x^2+y^2<=9,y =x^2+z^2-9}$ come ho fatto prima(nell'esercizio precedente)?

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Quinzio

25 gen 2012, 06:48

Con solo due superfici come nell'esercizio precedente non funziona di sicuro.
Hai 4 superfici:
a-il paraboloide fino a dove non inizia il cilindro interno (il tunnel).
b-il resto del paraboloide escluso le aperture del tunnel (l'ingresso e l'uscita)
c-la superficie interna del tunnel
d-la parte rimanente del coperchio $y=0$

Per la a) è abbastanza semplice

$\int_{-9}^{-1}\int_{0}^{2 \pi}\ 1/2 \sqrt(4y+37)\ d\theta \ dy$

Per la b) il passo un po' difficile è l'estremo dell'angolo di integrazione (qui è calcolato solo su un ottante, quindi si fa x4)

$4\int_{-1}^{0}\int_{0}^{"arccos"(\sqrt((1-y^2)/(9+y)))}\ 1/2 \sqrt(4y+37)\ d\theta \ dy$

Anche la parte c) ha un estremo un po' cervellotico

$2\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{\sqrt(9+sin \theta - cos^2 \theta)}\ dz\ d\theta$

La parte d) è la più facile, provaci tu, non c'è neanche bisogno dell'integrale.
Risolvere gli integrali a b c non nè semplicissimo, prova a vedere cosa salta fuori.

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nadia891

25 gen 2012, 16:55

Si diciamo che nella parte b e c non ho ben capito cosa hai fatto( che parimetrizzazione hai usato?)

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[Quinzio]

Mi sa di no.
Nell'insieme che hai aggiunto tu, quando x=y=0 , non si riesce neanche a calcolare la radice (di -1).

[nadia891]

scusate c'è uno sbaglio.ho modificato.

[Quinzio]

Ok, Nadia, ma quello che hai messo tu torna a ridefinire quello che era già stato definito. Inoltre tu definisci un volume, mentre le altre due equazioni della risoluzione sono superfici, com'è corretto che sia.
Infatti scrivono z=.... non z<
Le due equazioni corrispondono al cerchio che fa da coperchio sottostante e poi alla calotta superiore.

[nadia891]

quindi bastano quelle due unioni perchè aggiungendo caso $ 0

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[Quinzio]

Si, è così.

[nadia891]

e se invece devo studiare l'area di :${1<=x^2+y^2<=9, x^2+z^2-9<=y<=0}$ ? io ho studiato gli integrali nell'unione : ${1<=x^2+y^2<=9,y=0}$e ${1<=x^2+y^2<=9, y=x^2+z^2-9}$ ma nella soluzione porta anche il caso dell'area della superficie interna del cilindro..

[Quinzio]

Qui non mi sembra affatto semplice.
C'è l'area del parabolide, il fondo (privato di una striscia centrale), al posto dell striscia centrale c'è la superficie interna del cilindro.
Il problema è che la superficie interna del cilindro non è semplcemente una sezione del cilindro, ma ha i bordi smussati. Lo stesso dicasi per il parabolide, a cui mancano due semi cerchi (a causa del cilindro).
Ci vorrebbe un disegno 3d per capire meglio, ma comunque non mi sembra una passeggiata il calcolo di quell'area.

[nadia891]

quindi in questo caso non devo semplicemente studiare gli integrali su ${1<=x^2+y^2<=9, y=0}e{1<=x^2+y^2<=9,y =x^2+z^2-9}$ come ho fatto prima(nell'esercizio precedente)?

[Quinzio]

Con solo due superfici come nell'esercizio precedente non funziona di sicuro.
Hai 4 superfici:
a-il paraboloide fino a dove non inizia il cilindro interno (il tunnel).
b-il resto del paraboloide escluso le aperture del tunnel (l'ingresso e l'uscita)
c-la superficie interna del tunnel
d-la parte rimanente del coperchio $y=0$

Per la a) è abbastanza semplice

$\int_{-9}^{-1}\int_{0}^{2 \pi}\ 1/2 \sqrt(4y+37)\ d\theta \ dy$

Per la b) il passo un po' difficile è l'estremo dell'angolo di integrazione (qui è calcolato solo su un ottante, quindi si fa x4)

$4\int_{-1}^{0}\int_{0}^{"arccos"(\sqrt((1-y^2)/(9+y)))}\ 1/2 \sqrt(4y+37)\ d\theta \ dy$

Anche la parte c) ha un estremo un po' cervellotico

$2\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{\sqrt(9+sin \theta - cos^2 \theta)}\ dz\ d\theta$

La parte d) è la più facile, provaci tu, non c'è neanche bisogno dell'integrale.
Risolvere gli integrali a b c non nè semplicissimo, prova a vedere cosa salta fuori.

[nadia891]

Si diciamo che nella parte b e c non ho ben capito cosa hai fatto( che parimetrizzazione hai usato?)