Dubbio Integrale Improprio Parametrico
Ciao ragazzi, mi ritrovo a stabilire il carattere del seguente integrale improprio:
\( \int_1^{+\infty} \sqrt(x) [ (1+ \frac{1}{x^a} )^\pi-1] dx \) ;
Inizio lo svolgimento in tal maniera: in \(\displaystyle x->1^+ \) l'integrale improprio non mi da problemi di convergenza; in \(\displaystyle x-> + \infty \) la funzione dovrebbe ridursi a \(\displaystyle \sqrt(x) [ ( \frac{1}{x^a} )^\pi] \) , più precisamente
\(\displaystyle [ ( \frac{1}{x^{\pi*a-1/2}} )] \), facendo si che l'integrale converga se \(\displaystyle a> \frac{3}{2\pi}\). Ho scritto dovrebbe perché controllando le soluzioni della prova d'esame, il professore ha riscritto la funzione come : \(\displaystyle \sqrt(x)* \frac{\pi}{x^a} \). In tal modo , l'integrale, sempre secondo il professore, converge se e solo se \(\displaystyle a>\frac{3}{2} \). Da dove viene il \(\displaystyle \pi \) al numeratore?
grazie a coloro che risponderanno!
\( \int_1^{+\infty} \sqrt(x) [ (1+ \frac{1}{x^a} )^\pi-1] dx \) ;
Inizio lo svolgimento in tal maniera: in \(\displaystyle x->1^+ \) l'integrale improprio non mi da problemi di convergenza; in \(\displaystyle x-> + \infty \) la funzione dovrebbe ridursi a \(\displaystyle \sqrt(x) [ ( \frac{1}{x^a} )^\pi] \) , più precisamente
\(\displaystyle [ ( \frac{1}{x^{\pi*a-1/2}} )] \), facendo si che l'integrale converga se \(\displaystyle a> \frac{3}{2\pi}\). Ho scritto dovrebbe perché controllando le soluzioni della prova d'esame, il professore ha riscritto la funzione come : \(\displaystyle \sqrt(x)* \frac{\pi}{x^a} \). In tal modo , l'integrale, sempre secondo il professore, converge se e solo se \(\displaystyle a>\frac{3}{2} \). Da dove viene il \(\displaystyle \pi \) al numeratore?
grazie a coloro che risponderanno!
Risposte
nessuno?
prima di risponderti,vorrei dire che ho notato che sei un po' troppo pressante nelle tue richieste
pretenderesti che ad ogni tua domanda si rispondesse nel giro di pochi minuti (non funziona così)
detto questo,assodato che ovviamente per $alpha leq 0$ non c'è convergenza,mettiamoci nel caso $alpha>0$
la funzione $(1+1/x^alpha)^pi$, a $+infty$ ,è asintotica a $e^(pi/x^alpha)$ (lo si dimostra utilizzando, con un piccolo artificio, un ben noto limite notevole)
ma a sua volta $e^(pi/x^alpha)-1 $ è asintotico a $pi/x^alpha$
ecco svelato l'arcano
pretenderesti che ad ogni tua domanda si rispondesse nel giro di pochi minuti (non funziona così)
detto questo,assodato che ovviamente per $alpha leq 0$ non c'è convergenza,mettiamoci nel caso $alpha>0$
la funzione $(1+1/x^alpha)^pi$, a $+infty$ ,è asintotica a $e^(pi/x^alpha)$ (lo si dimostra utilizzando, con un piccolo artificio, un ben noto limite notevole)
ma a sua volta $e^(pi/x^alpha)-1 $ è asintotico a $pi/x^alpha$
ecco svelato l'arcano
Fortunatamente ero riuscito prima a risolvere l'arcano mistero.
Grazie mille e mi scuso per essere stato così pressante.
Grazie mille e mi scuso per essere stato così pressante.
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