Dubbio integrale e limite
Ciao,
oggi pomeriggio ho svolto uno studio di funzioni con lo scopo di calcolare l'area fra 2 figure. Tutto ok, mi è venuto!! Durante lo svolgimento mi sono "scontrato" con un limite e un integrale...semplici...ma che mi hanno messo in crisi...ho dovuto, dopo tantissimo tempo, ricorrere a wolfram alpha!!
Volevo sapere da voi come li risolvereste (purtroppo all'esame non ho wolfram che mi tira fuori dai guai XD).
$Lim_(x->0) x^2ln(x) = [0 * \infty]$
Secondo me questo limite è una forma di indecisione, non capisco poi che procedimento utilizzi wolfram alpha per affermare che è zero. Lo so, può sembrare ridicolo ma non mi è uscito. E il disegno da me effettuato afferma comunque che il limite in questo caso deve essere 0. Perciò sono curioso di sapere come si risolva;
$\int_{0}^{e} x^2ln(x) dx = [x^3/3ln(x) - x^3/9]_0^e$
Come potete notare ho risolto l'integrale per parti. Molto semplice...ma mi confondo nella parte seguente.
$e^3/3ln(e) -e^3/9 - 0(\infty) + 0$
Come evidente il mio problema è il logaritmo di 0.
Secondo wolfram alpha la risposta è semplicemente $(2e^3)/9$.
Grazie a chiunque mi toglierà i dubbi
oggi pomeriggio ho svolto uno studio di funzioni con lo scopo di calcolare l'area fra 2 figure. Tutto ok, mi è venuto!! Durante lo svolgimento mi sono "scontrato" con un limite e un integrale...semplici...ma che mi hanno messo in crisi...ho dovuto, dopo tantissimo tempo, ricorrere a wolfram alpha!!
Volevo sapere da voi come li risolvereste (purtroppo all'esame non ho wolfram che mi tira fuori dai guai XD).$Lim_(x->0) x^2ln(x) = [0 * \infty]$
Secondo me questo limite è una forma di indecisione, non capisco poi che procedimento utilizzi wolfram alpha per affermare che è zero. Lo so, può sembrare ridicolo ma non mi è uscito. E il disegno da me effettuato afferma comunque che il limite in questo caso deve essere 0. Perciò sono curioso di sapere come si risolva;
$\int_{0}^{e} x^2ln(x) dx = [x^3/3ln(x) - x^3/9]_0^e$
Come potete notare ho risolto l'integrale per parti. Molto semplice...ma mi confondo nella parte seguente.
$e^3/3ln(e) -e^3/9 - 0(\infty) + 0$
Come evidente il mio problema è il logaritmo di 0.
Secondo wolfram alpha la risposta è semplicemente $(2e^3)/9$.
Grazie a chiunque mi toglierà i dubbi
Risposte
scrivi il limite come
$ lim_(x -> 0) lnx/x^(-2) $ ed applica De L'Hopital
$ lim_(x -> 0) lnx/x^(-2) $ ed applica De L'Hopital
ok, per il limite sono d'accordo con quantunquemente, usare de l'hopital ti mostra subito la via (in effetti questo è un esempio classico in cui de l'hopital va applicato 
).
Quanto all'integrale, si tratta di un integrale improprio, quindi il modo corretto di scriverlo è
$ int_{0}^{e} x^2ln(x) dx = lim_(a->0) int_{a}^{e} x^2ln(x) dx = lim_(a->0) [x^3/3ln(x) - x^3/9]_a^e = lim_(a->0) (2/9e^3 - a^3/3 ln(a) + a^3/9) $
quindi vedi, hai di nuovo lo stesso limite di prima, perciò alla fine rimane solo il termine $2/9 e^3$
).Quanto all'integrale, si tratta di un integrale improprio, quindi il modo corretto di scriverlo è
$ int_{0}^{e} x^2ln(x) dx = lim_(a->0) int_{a}^{e} x^2ln(x) dx = lim_(a->0) [x^3/3ln(x) - x^3/9]_a^e = lim_(a->0) (2/9e^3 - a^3/3 ln(a) + a^3/9) $
quindi vedi, hai di nuovo lo stesso limite di prima, perciò alla fine rimane solo il termine $2/9 e^3$
"poll89":Veramente su questo non sono d'accordo. Sul dominio di integrazione $[0, e]$ la funzione integranda è continua, limitata, ha tutta la regolarità che vuoi. Più "proprio" di così non si può.
si tratta di un integrale improprio
quindi il modo corretto di scriverlo è
$ int_{0}^{e} x^2ln(x) dx = lim_(a->0) int_{a}^{e} x^2ln(x) dx = lim_(a->0) [x^3/3ln(x) - x^3/9]_a^e = lim_(a->0) (2/9e^3 - a^3/3 ln(a) + a^3/9) $
quindi vedi, hai di nuovo lo stesso limite di prima, perciò alla fine rimane solo il termine $2/9 e^3$
Su questo ragionamento invece sono d'accordo.
"dissonance":Veramente su questo non sono d'accordo. Sul dominio di integrazione $ [0, e] $ la funzione integranda è continua, limitata, ha tutta la regolarità che vuoi. Più "proprio" di così non si può. [/quote]
[quote="poll89"]si tratta di un integrale improprio
concordo sulla regolarità di f per $x in (0,e]$, quindi l'integrale è proprio su ogni intervallo $[a,e] sub (0,e]$ e bla bla bla... ma non mi verrai a dire che $ln(x)$ sia limitata per $x->0$...
"dissonance":
Sul dominio di integrazione [0,e] la funzione integranda è continua,
ma se in $0$ non esiste neanche...
è un integrale improprio
"poll89":
[concordo sulla regolarità di f per $x in (0,e]$, quindi l'integrale è proprio su ogni intervallo $[a,e] sub (0,e]$ e bla bla bla... ma non mi verrai a dire che $ln(x)$ sia limitata per $x->0$...
No, $\log x$ non è limitata per $x\to 0$, ma $f(x)=x^2\log x$ si.
"quantunquemente":Si intende il prolungamento per continuità, ossia $f(0)=0$. Ma in realtà non ha importanza. Ai fini del calcolo di un integrale non importa il valore della funzione integranda in un solo punto, o in un numero finito di punti. Potremmo anche stabilire che $f(0)=\text{un milione}$, e il valore dell'integrale sarebbe sempre lo stesso.
ma se in $0$ non esiste neanche
"dissonance":
Ai fini del calcolo di un integrale non importa il valore della funzione integranda
ma importa il fatto che questo è un integrale improprio per definizione
e poi non si intende un bel niente : la funzione non esiste in $0$,punto
Grazie mille rata, chiarissimo!!
Per quant riguarda il limite alla fine mi sono perso in un bicchiere d'acqua...e questo mi ha portato nel baratro con l'integrale che alla fine andava risolto conoscendo anche il valore del limite precedente.
Grazie ancora per la vostra disponibilità
Per quant riguarda il limite alla fine mi sono perso in un bicchiere d'acqua...e questo mi ha portato nel baratro con l'integrale che alla fine andava risolto conoscendo anche il valore del limite precedente.
Grazie ancora per la vostra disponibilità
Occhio quantunquemente, dissonance ha scritto
che è diverso da
"dissonance":
Ai fini del calcolo di un integrale non importa il valore della funzione integranda in un solo punto, o in un numero finito di punti
che è diverso da
"dissonance":
Ai fini del calcolo di un integrale non importa il valore della funzione integranda
ho capito il senso,ho solo riportato una parte della citazione
comunque,chiedo scusa perchè credo abbia ragione dissonance : il termine "improprio",per gli integrali in intervalli limitati,stando a quanto ho appena letto,si usa solo quando la funzione tende all'infinito in uno degli estremi di integrazione,non basta che la funzione non esista in quell'estremo
comunque,chiedo scusa perchè credo abbia ragione dissonance : il termine "improprio",per gli integrali in intervalli limitati,stando a quanto ho appena letto,si usa solo quando la funzione tende all'infinito in uno degli estremi di integrazione,non basta che la funzione non esista in quell'estremo
si ho visto che hai riportato solo parte della citazione, appunto per quello ti ho corretto: hai saltato la parte che la rendeva corretta come se mi dicessero "quantunquemente uccide regolarmente uomini, donne e bambini in un popolare videogioco online" ed io riportassi alla polizia solo "quantunquemente uccide regolarmente uomini, donne e bambini" ma vabbè, sto scadendo nella pedanteria quindi dopo questo messaggio mi tacerò.
solo un'ultima domanda: stando a questa definizione, il nostro sarebbe un integrale improprio di seconda specie. Chi sbaglia?
come se mi dicessero "quantunquemente uccide regolarmente uomini, donne e bambini in un popolare videogioco online" ed io riportassi alla polizia solo "quantunquemente uccide regolarmente uomini, donne e bambini" ma vabbè, sto scadendo nella pedanteria quindi dopo questo messaggio mi tacerò.solo un'ultima domanda: stando a questa definizione, il nostro sarebbe un integrale improprio di seconda specie. Chi sbaglia?
eh,ma, come vedi, in tutti gli esempi l'integrando tende all'infinito in almeno uno degli estremi di integrazione
"poll89":
"quantunquemente uccide regolarmente uomini, donne e bambini in un popolare videogioco online" ed io riportassi alla polizia solo "quantunquemente uccide regolarmente uomini, donne e bambini"
solo un'ultima domanda: stando a questa definizione, il nostro sarebbe un integrale improprio di seconda specie. Chi sbaglia?
Mah buh. In fondo non è così importante. Per me, un integrale è "improprio" quando è *necessario* un processo di limite nel dominio di integrazione per dargli un senso. Per questo, secondo me il presente integrale non lo è. Ma se **** decide di fare altrimenti, peraltro introducendo le micidiali locuzioni "di $X$-esima specie", a me non importa molto. Ognuno è libero di farsi le definizioni che vuole, basta che ci si capisca quando si comunica.
[ot]P.S.: In ogni modo sconsiglio di consultare **** e siti simili. Hanno dato prova di scrivere grandi castronerie in passato.[/ot]
Ma non si poteva risolvere il limite sfruttando la gerarchia degli infiniti, senza scomodare De L'Hopital?
beh, il povero e caro Guillame Francois Antoine, marquis de l'Hopitàl, ci ha lasciati circa 3 secoli e qualche anno fa, quindi scomodarlo risulta complicato. La sua regola invece è sorprendentemente alla mano e non se la prende se la si utilizza anche quando ci sarebbero altri modi di giungere al risultato. Quindi, Kastighos, ti dirò che hai ragione, questo limite si vedeva ad occhio grazie alla gerarchia degli infiniti, ma dato che la gerarchia degli infiniti è un po' infame e ti fa credere di funzionare più spesso di quanto non sia, conducendo ad errori madornali, preferisco lasciarla riposare e rivolgermi alla regola del buon marchese, la quale, previa verifica della derivabilità delle funzioni in esame, usa la cortesia di condurre al risultato giusto oppure a nessun risultato, almeno nella mia esperienza.
Riassumendo, hai ragione, ma tieni la gerarchia degli infiniti come ultima spiaggia.
Riassumendo, hai ragione, ma tieni la gerarchia degli infiniti come ultima spiaggia.
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