Dubbio integrale doppio
Salve, volevo sapere da voi in quale modo è possibile effettuare il seguente integrale
calcolato su una circonferenza di raggio 2 e centro (0,0)
calcolato su una circonferenza di raggio 2 e centro (0,0)
Risposte
"simone_1983":
Salve, volevo sapere da voi in quale modo è possibile effettuare il seguente integrale
calcolato su una circonferenza di raggio 2 e centro (0,0)
Puoi integrare sopra la retta $y=x$, tanto la funzione è simmetrica
rispetto a tale retta.
Chiaramente poi devi moltiplicare per 2 il risultato ottenuto.
Non è applicabile direttamente la formula di riduzione vero ???
"simone_1983":
Salve, volevo sapere da voi in quale modo è possibile effettuare il seguente integrale
calcolato su una circonferenza di raggio 2 e centro (0,0)
Sicuro che devi integrare su una circonferenza? In tal caso l'integrale è nullo (poiché una circonferenza ha misura nulla nel piano).
Forse volevi dire cerchio, ma non è affatto la stessa cosa!
"Gugo82":
[quote="simone_1983"]Salve, volevo sapere da voi in quale modo è possibile effettuare il seguente integrale
calcolato su una circonferenza di raggio 2 e centro (0,0)
Sicuro che devi integrare su una circonferenza... forse volevi dire cerchio, ma non è affatto la stessa cosa![/quote]
Vabbè, un po' di elasticità!!
Ho capito bene gugo cosa vuoi dire, ma in questi casi è ovvio
che il dominio dell'integrale è il cerchio!
In altri casi non è ovvio, come quel post dell'integrale triplo in cui c'è
un dominio con un cono di cui, all'inizio, non sapevamo nulla..
che il dominio dell'integrale è il cerchio!
In altri casi non è ovvio, come quel post dell'integrale triplo in cui c'è
un dominio con un cono di cui, all'inizio, non sapevamo nulla..
Franced, tu mi insegni che l'integrale $\int \int_E f(x,y)" d"x" d"y$, in cui $f:RR^2 to RR$ è continua, si può calcolare per ogni $E subseteq RR^2$ limitato e misurabile secondo Jordan.
Si da il caso che tanto un cerchio $D$ non degenere (ossia con raggio finito non nullo) tanto la sua circonferenza $Gamma$ siano limitati e Jordan-misurabili, però $m(D)>0$ mentre $m(Gamma)=0$; perciò mentre risulta certamente $\int \int_D |y-x|" d"x" d"y>0$, si ha invece $\int \int_Gamma |y-x|" d"x" d"y=0$ perchè la misura di $Gamma$ è nulla.
Va bene l'elasticità, però è sempre meglio richiamare l'attenzione, perchè si arriva a due risultati totalmente differenti.
Si da il caso che tanto un cerchio $D$ non degenere (ossia con raggio finito non nullo) tanto la sua circonferenza $Gamma$ siano limitati e Jordan-misurabili, però $m(D)>0$ mentre $m(Gamma)=0$; perciò mentre risulta certamente $\int \int_D |y-x|" d"x" d"y>0$, si ha invece $\int \int_Gamma |y-x|" d"x" d"y=0$ perchè la misura di $Gamma$ è nulla.
Va bene l'elasticità, però è sempre meglio richiamare l'attenzione, perchè si arriva a due risultati totalmente differenti.
Il problema è:
$int_{x^2+y^2=4} |y-x|dxdy$
mediante coordinate polari:
${(x=rho*cos(theta)), (y=rho*sin(theta)):}$
con:
$det(J) = rho$
ottengo:
$int_0^2 int_0^(2*pi) rho^2*|sin(theta)-cos(theta)| d rho d theta$
risolubile semplicemente....
$int_{x^2+y^2=4} |y-x|dxdy$
mediante coordinate polari:
${(x=rho*cos(theta)), (y=rho*sin(theta)):}$
con:
$det(J) = rho$
ottengo:
$int_0^2 int_0^(2*pi) rho^2*|sin(theta)-cos(theta)| d rho d theta$
risolubile semplicemente....
"Lord K":
Il problema è:
$int_{x^2+y^2=4} |y-x|dxdy$
mediante coordinate polari:
${(x=rho*cos(theta)), (y=rho*sin(theta)):}$
con:
$det(J) = rho$
ottengo:
$int_0^2 int_0^(2*pi) rho^2*|sin(theta)-cos(theta)| d rho d theta$
risolubile semplicemente....
Peccato che $int_{x^2+y^2=4} |y-x|dxdy!=int_0^2 int_0^(2*pi) rho^2*|sin(theta)-cos(theta)| d rho d theta$...
Ecco è appunto questo ciò di cui parlavo.
certo certo... cerchio non circonferenza 
...
facendo con la formula della riduzione io l'ho diviso così :
prima ho studiato il segno della funzione da integrare |y-x|
quando y > x allora vale y-x
quando y < x allora x-y
in base a questo ed al fatto che y si muove così -sqr(4-x^2) < y < sqr(4-x^2)
mi sono diviso l'integrale in due
-2 < x < 2 -sqr(4-x^2) < y < x con funzione da integrare data da x-y
e il secondo insieme
-2 < x < 2 x < y < sqr(4-x^2) con funzione da integrare data da y-x
non credo però vada bene... qualche parere ????
... facendo con la formula della riduzione io l'ho diviso così :
prima ho studiato il segno della funzione da integrare |y-x|
quando y > x allora vale y-x
quando y < x allora x-y
in base a questo ed al fatto che y si muove così -sqr(4-x^2) < y < sqr(4-x^2)
mi sono diviso l'integrale in due
-2 < x < 2 -sqr(4-x^2) < y < x con funzione da integrare data da x-y
e il secondo insieme
-2 < x < 2 x < y < sqr(4-x^2) con funzione da integrare data da y-x
non credo però vada bene... qualche parere ????
Ups 
anche se io mi rifervo al cerchio.
anche se io mi rifervo al cerchio.
"Gugo82":
Va bene l'elasticità, però è sempre meglio richiamare l'attenzione anche perchè si arriva a risultati totalmente differenti.
Dai, l'ho detto come battuta!
So benissimo che se il dominio ha area nulla anche l'integrale è nullo!!
"simone_1983":
certo certo... cerchio non circonferenza
facendo con la formula della riduzione io l'ho diviso così :
prima ho studiato il segno della funzione da integrare |y-x|
quando y > x allora vale y-x
quando y < x allora x-y
in base a questo ed al fatto che y si muove così -sqr(4-x^2) < y < sqr(4-x^2)
mi sono diviso l'integrale in due
-2 < x < 2 -sqr(4-x^2) < y < x con funzione da integrare data da x-y
e il secondo insieme
-2 < x < 2 x < y < sqr(4-x^2) con funzione da integrare data da y-x
non credo però vada bene... qualche parere ????
Scomporre il cerchio come dominio normale porta a calcoli lunghi e tediosi.
Passa a coordinate polari come suggerito da Lord K e tieni a mente il consiglio del buon franced.
"Lord K":
Il problema è:
$int_{x^2+y^2=4} |y-x|dxdy$
mediante coordinate polari:
${(x=rho*cos(theta)), (y=rho*sin(theta)):}$
con:
$det(J) = rho$
ottengo:
$int_0^2 int_0^(2*pi) rho^2*|sin(theta)-cos(theta)| d rho d theta$
risolubile semplicemente....
Il dominio è il cerchio $x^2+y^2 \leq 4$
Puoi integrare così:
$I = 2 \cdot \int_{\pi/4}^{5/4 \pi} \int_{0}^{2} \rho^2 (\sin \theta - \cos \theta) d \rho d \theta$
per via della simmetria come ho spiegato sopra.
"Gugo82":
... e tieni a mente il consiglio del buon franced.
Troppo buono..
Prima di risolvere l'esercizio non sarebbe male fare una previsione
del risultato:
1) è positivo perché l'integranda è positiva;
2) visto che, sul dominio, considerato, la funzione $f(x;y) = |y-x| \leq 2 \sqrt{2}$,
l'integrale è $< 2 \sqrt{2} \cdot 4 \pi$ (ho moltiplicato il valore massimo della
funzione per l'area del cerchio)
del risultato:
1) è positivo perché l'integranda è positiva;
2) visto che, sul dominio, considerato, la funzione $f(x;y) = |y-x| \leq 2 \sqrt{2}$,
l'integrale è $< 2 \sqrt{2} \cdot 4 \pi$ (ho moltiplicato il valore massimo della
funzione per l'area del cerchio)
grazie a tutti per il chiarimento
L'integrale dovrebbe tornare
$32/3 \sqrt{2}$
$32/3 \sqrt{2}$
Un'altra idea che mi viene in mente in questo esercizio:
perché non si cambiano le coordinate scegliendo come nuova origine
la vecchia origine e come assi cartesiani prendiamo i vecchi ruotati
di 45 gradi in senso antiorario.
In questo modo cambiano equazione sia il dominio che la funzione integranda.
perché non si cambiano le coordinate scegliendo come nuova origine
la vecchia origine e come assi cartesiani prendiamo i vecchi ruotati
di 45 gradi in senso antiorario.
In questo modo cambiano equazione sia il dominio che la funzione integranda.
"franced":
Un'altra idea che mi viene in mente in questo esercizio:
perché non si cambiano le coordinate scegliendo come nuova origine
la vecchia origine e come assi cartesiani prendiamo i vecchi ruotati
di 45 gradi in senso antiorario.
In questo modo cambiano equazione sia il dominio che la funzione integranda.
La trasformazione delle coordinate è
$x' = \sqrt{2}/2 x + \sqrt{2}/2 y$
$y' = - \sqrt{2}/2 x + \sqrt{2}/2 y$
la trasformazione inversa è:
$x = \sqrt{2}/2 x' - \sqrt{2}/2 y'$
$y = \sqrt{2}/2 x' + \sqrt{2}/2 y'$
Da cui ricaviamo:
$y - x = \sqrt{2} y'$
il dominio resta $(x')^2 + (y')^2 \leq 4$;
l'integrale diventa (stavolta la simmetria l'abbiamo rispetto all'asse delle $x'$):
$I = 2 \cdot \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{2} \sqrt{2} \rho^2 \sin \theta d \rho d \theta$
E' molto interessante calcolare l'integrale
$\int_{x^2+y^2 \leq 4} y-x dx dy$
(in pratica cambia solo l'integranda, ora senza valore assoluto).
Per questioni di simmetria l'integrale è nullo, ma quanti avrebbero
iniziato con l'impostare i calcoli?
Sono maligno a pensare ciò?
$\int_{x^2+y^2 \leq 4} y-x dx dy$
(in pratica cambia solo l'integranda, ora senza valore assoluto).
Per questioni di simmetria l'integrale è nullo, ma quanti avrebbero
iniziato con l'impostare i calcoli?
Sono maligno a pensare ciò?
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