Dubbio integrale doppio
Ciao a tutti, ho questo integrale doppio da calcolare nel dominio T:
\(\displaystyle \int_T \frac{x-\sqrt{3}y}{({x^2+y^2})^2} dxdy \)
essendo
\(\displaystyle T=\{{(x,y) \in R^2 : x^2+y^2-2y \leq 0 , \sqrt{3}x +y \geq 2}\} \)
Volevo risolverlo pensando T normale rispetto ad x, perché disegnando il dominio ci si rende conto che x dovrebbe essere \(\displaystyle x \in [0,1] \) . Ma fatto ciò non credo di aver capito come utilizzare le disequazioni del dominio per ricavare i due estremi di variazione della y in funzione di x. E quindi non so come proseguire nel calcolo dell'integrale...
Magari in questo caso specifico l'integrale si può calcolare più facilmente con qualche sostituzione, ma in generale se ho gli estremi di una variabile e mi devo trovare quelli dell'altra sfruttando le disequazioni del dominio, come faccio?
\(\displaystyle \int_T \frac{x-\sqrt{3}y}{({x^2+y^2})^2} dxdy \)
essendo
\(\displaystyle T=\{{(x,y) \in R^2 : x^2+y^2-2y \leq 0 , \sqrt{3}x +y \geq 2}\} \)
Volevo risolverlo pensando T normale rispetto ad x, perché disegnando il dominio ci si rende conto che x dovrebbe essere \(\displaystyle x \in [0,1] \) . Ma fatto ciò non credo di aver capito come utilizzare le disequazioni del dominio per ricavare i due estremi di variazione della y in funzione di x. E quindi non so come proseguire nel calcolo dell'integrale...
Magari in questo caso specifico l'integrale si può calcolare più facilmente con qualche sostituzione, ma in generale se ho gli estremi di una variabile e mi devo trovare quelli dell'altra sfruttando le disequazioni del dominio, come faccio?
Risposte
Integranda e dominio urlano "coordinate polari"
Non puoi considerare cose troppo generali negli integrali, devi valutare caso per caso, potresti pure scervellarti nel semplificare le disequazioni ma non ne vale la pena: coordinate polari e formule di addisione/sottrazione(trigonometria) e hai finito con questo integrale
Non puoi considerare cose troppo generali negli integrali, devi valutare caso per caso, potresti pure scervellarti nel semplificare le disequazioni ma non ne vale la pena: coordinate polari e formule di addisione/sottrazione(trigonometria) e hai finito con questo integrale
Ciao phpmode,
Così da vedere mi sembra più $y$-semplice...
Per trovare i punti di intersezione basta che fai l'intersezione fra la retta $y = - sqrt3 x + 2 $ e la circonferenza $ x^2 + y^2 - 2y = 0 $, per cui si ha:
$x^2 + (- sqrt3 x + 2)^2 - 2(- sqrt3 x + 2) = 0 $
$x^2 + 3x^2 - 4sqrt3 x + 4 + 2 sqrt3 - 4 = 0 $
$4x^2 - 2sqrt3 x = 0 $
$2x^2 - sqrt3 x = 0 \implies x_1 = 0, x_2 = sqrt3/2 $
Dunque i due punti sono $A(0, 2) $ e $B(sqrt3/2, 1/2) $
Per il resto quoto anto_zoolander...
Così da vedere mi sembra più $y$-semplice...
Per trovare i punti di intersezione basta che fai l'intersezione fra la retta $y = - sqrt3 x + 2 $ e la circonferenza $ x^2 + y^2 - 2y = 0 $, per cui si ha:
$x^2 + (- sqrt3 x + 2)^2 - 2(- sqrt3 x + 2) = 0 $
$x^2 + 3x^2 - 4sqrt3 x + 4 + 2 sqrt3 - 4 = 0 $
$4x^2 - 2sqrt3 x = 0 $
$2x^2 - sqrt3 x = 0 \implies x_1 = 0, x_2 = sqrt3/2 $
Dunque i due punti sono $A(0, 2) $ e $B(sqrt3/2, 1/2) $
Per il resto quoto anto_zoolander...
Grazie ad entrambi!
Quindi quando mi conviene utilizzo le coordinate polari, d'accordo.. e in generale per capire come variano le variabili devo guardare alle disequazioni del dominio, ok.
Ma a questo punto mi viene un altro dubbio: quando faccio un cambio di coordinate cambia anche il dominio di integrazione, le coordinate polari non sono un problema perché di solito non è difficile capire dove variano rho e theta, ma se faccio un altro cambio di coordinate, in che modo trovo il nuovo dominio?
Devo guardare sempre le disequazioni di quello vecchio, sostituire le nuove coordinate e cercare di ricavare da lì il nuovo dominio?
O devo disegnare il grafico e capirlo geometricamente?
C'è qualche "regola" o qualche principio che si può utilizzare in linea di massima per capire come cambia il dominio o anche in questo caso sta solo a noi esercizio per esercizio guardare le disequazioni ed eventualmente il grafico e farci un'idea?
Scusate per il numero di domande ma sono entrata nel mondo degli integrali multipli da pochi giorni e l'argomento mi confonde ancora abbastanza...
Grazie in anticipo!
Quindi quando mi conviene utilizzo le coordinate polari, d'accordo.. e in generale per capire come variano le variabili devo guardare alle disequazioni del dominio, ok.
Ma a questo punto mi viene un altro dubbio: quando faccio un cambio di coordinate cambia anche il dominio di integrazione, le coordinate polari non sono un problema perché di solito non è difficile capire dove variano rho e theta, ma se faccio un altro cambio di coordinate, in che modo trovo il nuovo dominio?
Devo guardare sempre le disequazioni di quello vecchio, sostituire le nuove coordinate e cercare di ricavare da lì il nuovo dominio?
O devo disegnare il grafico e capirlo geometricamente?
C'è qualche "regola" o qualche principio che si può utilizzare in linea di massima per capire come cambia il dominio o anche in questo caso sta solo a noi esercizio per esercizio guardare le disequazioni ed eventualmente il grafico e farci un'idea?
Scusate per il numero di domande ma sono entrata nel mondo degli integrali multipli da pochi giorni e l'argomento mi confonde ancora abbastanza...
Grazie in anticipo!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo