Dubbio Integrale doppio

[Lebesgue]

Devo calcolare l'integrale doppio delle funzioni $f(x,y)=x \ ; \ g(x,y)=1$ nell'insieme $A={(x,y)\in\mathbb{R}^2|x\ge 0 \ ,3x-2\le y\le x}$. Premetto che l'unico medoto che ho [per ora] per risolvere gli integrali doppi è la formula di spezzamento sugli insiemi normali, quindi cerco di scrivere A come insieme normale rispetto sia all'asse x che all'asse y:
rispetto asse x scrivo: $A={x\in[0,1] \ , 3x-2\le y\le x}$
rispetto asse y scrivo $A={y\in[0,1]\ ,y\le x\le (y+2)/3}$
Andando ad integrare con la formula di spezzamento nell'insieme normale rispetto all'asse x mi trovo con i risultati, mentre se integro nell'insieme normale rispetto all'asse y escono risultati totalmente differenti.
Per caso ho sbagliato a scrivere A come insieme normale rispetto ad y?

[billyballo2123]

A occhio direi di sì... infatti
\[
A=\bigg\{-2\leq y\leq 1, \max(0,y)\leq x\leq \frac{y+2}{3}\bigg\}.
\]
Infatti quando scrivi $A$ come insieme normale rispetto a $x$, risulta che il punto $(0,-2)\in A$, mentre quando scrivi $A$ come insieme normale rispetto a $y$ risulta $(0,-2)\notin A$.
In pratica ti manca il pezzo
\[
\bigg\{-2\leq y\leq 0, 0\leq x\leq \frac{y+2}{3}\bigg\}.
\]

[Lebesgue]

"billyballo2123":A occhio direi di sì... infatti
\[
A=\bigg\{-2\leq y\leq 1, \max(0,y)\leq x\leq \frac{y+2}{3}\bigg\}.
\]
Infatti quando scrivi $A$ come insieme normale rispetto a $x$, risulta che il punto $(0,-2)\in A$, mentre quando scrivi $A$ come insieme normale rispetto a $y$ risulta $(0,-2)\notin A$.
In pratica ti manca il pezzo
\[
\bigg\{-2\leq y\leq 0, 0\leq x\leq \frac{y+2}{3}\bigg\}.
\]

Avevo sbagliato a disegnare l'insieme, ecco perchè non mi trovavo (avevo non so per quale ragione considerato solo le y>=0) Grazie per avermelo fatto notare!
Alla fine l'insieme A come normale rispetto all'asse y (a meno di altri errori) dovrebbe essere: ${y\in[-2,0] \ ,0\le x \le (y+2)/3} \cup {y\in[0,1]\ , y\le x \le (y+2)/3}$
(che è effettivamente l'insieme che avevi detto tu, ma sono scemo e quindi l'ho riscritto xD)

[billyballo2123]

"billyballo2123":Grazie per avermelo fatto notare!

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