Dubbio Integrale doppio
Salve ho un dubbio su un integrale che ho svolto. Mi sembra troppo facile, e come si sa di solito quando in matematica qualcosa sembra facile si sta commettendo qualche errore! 
Eccolo
\(\displaystyle \int\int\frac{1}{\sqrt{4-x^2-4y^2}} dxdy \) nel dominio D=\(\displaystyle \{ (x,y)\in R^2 : 4-x^2-4y^2 \leq 0 \} \)
ho effettuato il cambiamento di variabili
\(\displaystyle x= \rho \cos \theta \)
\(\displaystyle y= \frac{\rho}{2 } \sin \theta \)
dal dominio trovo che \(\displaystyle -2\leq \rho \leq 2 \) che in realtà è \(\displaystyle 0\leq \rho \leq 2 \) considerando la funzione integranda che ha dominio per il radicando maggiore di 0. (1° dubbio. è corretto il ragionamento?)
mentre la condizione su \(\displaystyle \theta \) è \(\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi \) (è corretta?)
Lo jacobiano viene invece \(\displaystyle \frac{\rho}{2 } \)
in definitiva ho due integrali nelle due nuove variabili.
il primo è \(\displaystyle \int d\theta \) tra 0 e \(\displaystyle \pi \)
e il secondo è
\(\displaystyle \int \frac{\rho}{2*\sqrt{4-x^2-4y^2}} d\rho \)
Questo secondo integrale lo risolvo moltiplicando e dividendo per 2 e applicando l'integrazione per le funzioni semplici quindi ottengo come risultato \(\displaystyle -\pi \)
E' corretto?
Grazie per le risposte
Eccolo
\(\displaystyle \int\int\frac{1}{\sqrt{4-x^2-4y^2}} dxdy \) nel dominio D=\(\displaystyle \{ (x,y)\in R^2 : 4-x^2-4y^2 \leq 0 \} \)
ho effettuato il cambiamento di variabili
\(\displaystyle x= \rho \cos \theta \)
\(\displaystyle y= \frac{\rho}{2 } \sin \theta \)
dal dominio trovo che \(\displaystyle -2\leq \rho \leq 2 \) che in realtà è \(\displaystyle 0\leq \rho \leq 2 \) considerando la funzione integranda che ha dominio per il radicando maggiore di 0. (1° dubbio. è corretto il ragionamento?)
mentre la condizione su \(\displaystyle \theta \) è \(\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi \) (è corretta?)
Lo jacobiano viene invece \(\displaystyle \frac{\rho}{2 } \)
in definitiva ho due integrali nelle due nuove variabili.
il primo è \(\displaystyle \int d\theta \) tra 0 e \(\displaystyle \pi \)
e il secondo è
\(\displaystyle \int \frac{\rho}{2*\sqrt{4-x^2-4y^2}} d\rho \)
Questo secondo integrale lo risolvo moltiplicando e dividendo per 2 e applicando l'integrazione per le funzioni semplici quindi ottengo come risultato \(\displaystyle -\pi \)
E' corretto?
Grazie per le risposte
Risposte
ovviamente il secondo integrale è tra 0 e 2
Alla fine qual è il tuo risultato ?
Ciao jumpy83
Non capisco: il radicando è calcolato in un dominio dove esso deve risultare negativo o uguale a zero... tanto varrebbe scrivere $D=\{\4-x^2-4y^2=0}$ che è l'equazione di un'ellisse, ma la radice si trova al denominatore... inoltre il dominio che hai scritto è illimitato... sicuro che non sia invece $D=\{\4-x^2-4y^2>=0}$ che sarebbe l'area di questa ellisse?
"jumpy83":
\(\displaystyle \int\int\frac{1}{\sqrt{4-x^2-4y^2}} dxdy \) nel dominio D=\(\displaystyle \{ (x,y)\in R^2 : 4-x^2-4y^2 \leq 0 \} \)
Non capisco: il radicando è calcolato in un dominio dove esso deve risultare negativo o uguale a zero... tanto varrebbe scrivere $D=\{\4-x^2-4y^2=0}$ che è l'equazione di un'ellisse, ma la radice si trova al denominatore... inoltre il dominio che hai scritto è illimitato... sicuro che non sia invece $D=\{\4-x^2-4y^2>=0}$ che sarebbe l'area di questa ellisse?
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