Dubbio integrale con fogli di Riemann
Chiedo una spiegazione su questo integrale:
$\int_0^\infty sqrt[x]/(1+x^2)dx$ dove si integra nel piano complesso scegliendo di tagliare sull'asse reale da 0 a infinito.
Scegliendo il percorso di integrazione formato da una curva grande che circonda sopra e sotto il taglio di raggio maggiore tendente a infinito e centrata nell'origine, avente 2 semirette che partono dall'origine appena sopra e appena sotto al taglio ed arrivano ad infinito e che sono unite nell'estremo vicino all'origine con un cerchietto centrato nell'origine e raggio tendente a 0 e all'infinito unite alla curva grande, si dimostra che il contributo utile dell'integrale è dato solo dalle 2 semirette.
All'interno della curva vi sono due poli del 1° ordine ($z=+- i$) calcolabile col teorema dei residui;
quello che non ho ancora chiaro è il limite dei 2 fogli; in sostanza mi pare di aver capito che -i sta sul secondo foglio (cioè $sqrt[z]$ non è ancora tornato all'inizio ?)
nel senso che nel semipiano positivo la $f(z) = sqrt[z]/(1+z^2)$ ma nel semipiano negativo $f(z)=-sqrt[z]/(1+z^2)$?
questo vorrebbe dire che la somma dei 2 residui non è fatto sullo stesso integrando bensì su integrandi di segno opposto?
$I(z)=2 \pi i (Res {sqrt[z]/(1+z^2)}_(z=i)+Res {-sqrt[z]/(1+z^2)}_(z=-i))$??
grazie
$\int_0^\infty sqrt[x]/(1+x^2)dx$ dove si integra nel piano complesso scegliendo di tagliare sull'asse reale da 0 a infinito.
Scegliendo il percorso di integrazione formato da una curva grande che circonda sopra e sotto il taglio di raggio maggiore tendente a infinito e centrata nell'origine, avente 2 semirette che partono dall'origine appena sopra e appena sotto al taglio ed arrivano ad infinito e che sono unite nell'estremo vicino all'origine con un cerchietto centrato nell'origine e raggio tendente a 0 e all'infinito unite alla curva grande, si dimostra che il contributo utile dell'integrale è dato solo dalle 2 semirette.
All'interno della curva vi sono due poli del 1° ordine ($z=+- i$) calcolabile col teorema dei residui;
quello che non ho ancora chiaro è il limite dei 2 fogli; in sostanza mi pare di aver capito che -i sta sul secondo foglio (cioè $sqrt[z]$ non è ancora tornato all'inizio ?)
nel senso che nel semipiano positivo la $f(z) = sqrt[z]/(1+z^2)$ ma nel semipiano negativo $f(z)=-sqrt[z]/(1+z^2)$?
questo vorrebbe dire che la somma dei 2 residui non è fatto sullo stesso integrando bensì su integrandi di segno opposto?
$I(z)=2 \pi i (Res {sqrt[z]/(1+z^2)}_(z=i)+Res {-sqrt[z]/(1+z^2)}_(z=-i))$??
grazie
Risposte
mmm... se ho ben capito quel cammino è tutto all'interno di un singolo foglio, no?...
quando applichi il teorema dei residui immagino dovrai prendere il residuo della funzione ristretta al foglio in cui stai integrando, indipendentemente da dove quale sia il polo considerato, $i$ o $-i$... questo è il criterio che ti dice come considerare la radice durante il calcolo del residuo...
attento che hai detto una frase come "$-i$ sta sul secondo foglio"... in realtà un foglio è composto da tutto il piano complesso privato della semiretta dove hai tagliato!... quindi $i$ e $-i$ possono benissimo stare sullo stesso foglio (se vuoi è la loro immagine che ti dice se stai condierando la $-i$ sul primo o sul secondo foglio: se l'immagine di $-i$ ha parte immaginaria positiva, allora stai sul primo foglio, se ha parte immaginaria negativa sul secondo)...
per esempio se hai definito il cammino di integrazione sul "primo" foglio prenderai sempre la radice con parte immaginaria positiva tra le due scelte possibili...
quando applichi il teorema dei residui immagino dovrai prendere il residuo della funzione ristretta al foglio in cui stai integrando, indipendentemente da dove quale sia il polo considerato, $i$ o $-i$... questo è il criterio che ti dice come considerare la radice durante il calcolo del residuo...
attento che hai detto una frase come "$-i$ sta sul secondo foglio"... in realtà un foglio è composto da tutto il piano complesso privato della semiretta dove hai tagliato!... quindi $i$ e $-i$ possono benissimo stare sullo stesso foglio (se vuoi è la loro immagine che ti dice se stai condierando la $-i$ sul primo o sul secondo foglio: se l'immagine di $-i$ ha parte immaginaria positiva, allora stai sul primo foglio, se ha parte immaginaria negativa sul secondo)...
per esempio se hai definito il cammino di integrazione sul "primo" foglio prenderai sempre la radice con parte immaginaria positiva tra le due scelte possibili...
"Thomas":
attento che hai detto una frase come "$-i$ sta sul secondo foglio"... in realtà un foglio è composto da tutto il piano complesso privato della semiretta dove hai tagliato!... quindi $i$ e $-i$ possono benissimo stare sullo stesso foglio (se vuoi è la loro immagine che ti dice se stai condierando la $-i$ sul primo o sul secondo foglio: se l'immagine di $-i$ ha parte immaginaria positiva, allora stai sul primo foglio, se ha parte immaginaria negativa sul secondo)...
per esempio se hai definito il cammino di integrazione sul "primo" foglio prenderai sempre la radice con parte immaginaria positiva tra le due scelte possibili...
Intendi dire che $I(z)=2\pi i (Res{sqrt[z]/(z^2+1)}_(z=i) + Res{sqrt[z]/(z^2+1)}_(z=-i))$??
si
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