DUbbio Integrale
Salve ragazzi stavo facendo un integrale del tipo
$1/3int_0^1x^3/(x^2+1)$
sul libro porta i passagi di $u=x^2$ e $du=2x$ e mi riscrive l'integrale in
$1/6int_0^1u/(u+1)$ ma perchè?!!? sopra non è $x^3$ come ha fatto!?
$1/3int_0^1x^3/(x^2+1)$
sul libro porta i passagi di $u=x^2$ e $du=2x$ e mi riscrive l'integrale in
$1/6int_0^1u/(u+1)$ ma perchè?!!? sopra non è $x^3$ come ha fatto!?
Risposte
pensaci bene...intanto dovresti scrivere gli integrali correttamente....ovvero con il loro bel [size=200]dx[/size] e [size=200]du[/size]...dopo di che ti dovresti accorgere del perché da solo.....considera che dx non è necessariamente uguale a du....
PS: e il $1/3$ che diventa magicamente $1/6$? di quello non ti sei chiesto il perché??
PS: e il $1/3$ che diventa magicamente $1/6$? di quello non ti sei chiesto il perché??
guarda quella è l'unica cosa che ho capito....
xk dato che du=2x si doveva moltiplica re e dividere per 2
ma non capisco come mai $x^3$ scompare per mettere solo u.... forse per questo motivo?
$1/3int(x*x^2)/(x^2+1)$ cosi mi torna o sbaglio-!?
xk dato che du=2x si doveva moltiplica re e dividere per 2
ma non capisco come mai $x^3$ scompare per mettere solo u.... forse per questo motivo?
$1/3int(x*x^2)/(x^2+1)$ cosi mi torna o sbaglio-!?
"guardiax":
guarda quella è l'unica cosa che ho capito....
xk dato che du=2x si doveva moltiplica re e dividere per 2
ma non capisco come mai $x^3$ scompare per mettere solo u.... forse per questo motivo?
$1/3int(x*x^2)/(x^2+1)$ cosi mi torna o sbaglio-!?
sì, più o meno,stavolta hai dimenticato il 2 e, come al solito, il $dx$....ecco comunque tutti i passaggi:
$1/3intx^3/(x^2+1)dx =1/6intx^2/(x^2+1)2xdx=1/6intx^2/(x^2+1)dx^2=1/6intu/(u+1)du$
"guardiax":
guarda quella è l'unica cosa che ho capito....
xk dato che du=2x si doveva moltiplica re e dividere per 2
ma non capisco come mai $x^3$ scompare per mettere solo u.... forse per questo motivo?
$1/3int(x*x^2)/(x^2+1)$ cosi mi torna o sbaglio-!?
certo che a leggere questi commenti rimango un po' attonito...
intanto non è vero che $ du=2x$ ma sarà $ du=2xdx$ che non è la stessa cosa. A costo di risultare noioso ti ripeto di star molto attendo al quel differenziale all'interno del segno di integrale. Se tu ne capissi l'importanza ed il significato non avresti più questi dubbi....
si ho capito , più che altro perchè mi sono abituato a mettere il differenziale solo quando e un integrale doppio comuqnue farò attenzione... le pongo un'altro integrale che non capisco la risoluzione...
$e^y2y^2int 1/(x^2+y^2)^2dx$
$e^y2y^2int 1/(x^2+y^2)^2dx$
"guardiax":
si ho capito , più che altro perchè mi sono abituato a mettere il differenziale solo quando e un integrale doppio comuqnue farò attenzione... le pongo un altro integrale del quale non ne capisco la risoluzione...
$e^y2y^2int 1/(x^2+y^2)^2dx$
scritto così devi considerare y come una costante
Sai risolvere integrali del tipo
$int1/(x^2+a^2)^2dx$ ?
PS: per favore non darmi del lei
no avevo pensato a ricaarmi l'integrale per l'arcotangente ma e tutto al quadrato..
ok, cominciamo per gradi: per risolvere
$int1/(x^2+1)^2dx$...poniamo $x=tany$
e quindi ottieniamo:
$int(1/(tan^2y+1)^2)1/cos^2ydy=int1/((1/cos^2y)^2)1/cos^2ydy=intcos^2ydy$
$int1/(x^2+1)^2dx$...poniamo $x=tany$
e quindi ottieniamo:
$int(1/(tan^2y+1)^2)1/cos^2ydy=int1/((1/cos^2y)^2)1/cos^2ydy=intcos^2ydy$
se hai capito questi passaggi...allora puoi ricondurre il tuo integrale a questo...hai solo un $y^2$ [che è una costante] da fare sparire in qualche modo...ma non è difficile
"guardiax":
no avevo pensato a ricaarmi l'integrale per l'arcotangente ma e tutto al quadrato..
si può fare anche così, i due metodi sono equivalenti:
se vuoi differenziare rispetto alla funzione inversa $arctanx$ l'integrale diventa:
$int1/(x^2+1)^2dx=int1/(x^2+1)1/(x^2+1)dx=int1/(x^2+1)d(arctanx)$
ora, osservando che:
$tan(arctanx)=x$ e quindi $tan^2(arctanx)+1=x^2+1$ ovvero $tan^2(arctanx)+1=1/cos^2(arctanx)=x^2+1$
l'integrale diventa
$intcos^2ydy$ dove $y=arctanx$
ora vediamo anche come eliminare la costante "rompiscatole" dentro il quadrato:
$int1/(x^2+y^2)^2dx=1/y^4int1/(1+(x/y)^2)^2dx=1/y^3int1/(1+(x/y)^2)^2d(x/y)=1/y^3int1/(1+z^2)^2dz$
a questo punto rileggi bene e ti dovrebbe essere tutto estremamente chiaro....spero
$int1/(x^2+y^2)^2dx=1/y^4int1/(1+(x/y)^2)^2dx=1/y^3int1/(1+(x/y)^2)^2d(x/y)=1/y^3int1/(1+z^2)^2dz$
a questo punto rileggi bene e ti dovrebbe essere tutto estremamente chiaro....spero
manca solo da risolvere $intcos^2ydy$
che si risolve facilmente utilizzando le formule di duplicazione
che si risolve facilmente utilizzando le formule di duplicazione
OSSERVAZIONE: i due metodi portano alla risoluzione del medesimo integrale, come mai?
nel primo abbiamo posto $x=tany$
nel secondo abbiamo posto $y=arctanx$
e te credo che otteniamo lo stesso integrale alla fine!!!
...però è un ottimo esercizio per rimaneggiare le funzioni trigonometriche
(spero di non essere stato troppo prolisso...il mio intento era quello di chiarirti un po' le idee)
nel primo abbiamo posto $x=tany$
nel secondo abbiamo posto $y=arctanx$
e te credo che otteniamo lo stesso integrale alla fine!!!
...però è un ottimo esercizio per rimaneggiare le funzioni trigonometriche
(spero di non essere stato troppo prolisso...il mio intento era quello di chiarirti un po' le idee)
"tommik":
ok, cominciamo per gradi: per risolvere
$int1/(x^2+1)^2dx$...poniamo $x=tany$
e quindi ottieniamo:
$int(1/(tan^2y+1)^2)1/cos^2ydy=int1/((1/cos^2y)^2)1/cos^2ydy=intcos^2ydy$
sto guardando una delle tue risposta alla volta qui...
hai sostituito $x=tany$ come mai usi questo metodo!? cioè con le funzioni trigonometriche?
poi ho capito la sotituzione e mi fermo nel punto
da qui
$(1/(tan^2y+1)^2)1/cos^2ydy$ come riesci a riscriverla così$int1/((1/cos^2y)^2)1/cos^2ydy$ che passaggio fai!?
sul fatto di portare $y^2$ fuori l'ho capito
"guardiax":
hai sostituito $x=tany$ come mai usi questo metodo!? cioè con le funzioni trigonometriche?
integrali del tipo $1/(x^2+1)$ oppure $sqrt(x^2+1)$ si risolvono con la sostituzione $y=tanx$. Oppure come volevi fare tu...passando per $arctanx$
"guardiax":
da qui
$(1/(tan^2y+1)^2)1/cos^2ydy$ come riesci a riscriverla così$int1/((1/cos^2y)^2)1/cos^2ydy$ che passaggio fai!?
si può scrivere così perché $d/dxtanx=tan^2x+1=1/cos^2x$
"tommik":
[quote="guardiax"]
da qui
$(1/(tan^2y+1)^2)1/cos^2ydy$ come riesci a riscriverla così$int1/((1/cos^2y)^2)1/cos^2ydy$ che passaggio fai!?
si può scrivere così perché $d/dxtanx=tan^2x+1=1/cos^2x$[/quote]
no non ho capito scusami se sono duro di comprendonio .. ma
se scrivo $d/dxtan x$ non è uguale a $1/(cos^2x)$ xk e anche uguale a $tan^2x+1$ ?
$tan^2x+1=sin^2x/cos^2x+1=(sin^2x+cos^2x)/cos^2x=1/cos^2x$
D: dunqe lo riscriviamo cosi non perchè facciamo derivata o sostituzione ma riscriviamo la tan in sen e coseno e poi facciamo il minimo comunimultiplo 
ooooooooooooo ora ho capito grazieeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee
ooooooooooooo ora ho capito grazieeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee
"guardiax":
D: dunqe lo riscriviamo cosi non perchè facciamo derivata o sostituzione ma riscriviamo la tan in sen e coseno e poi facciamo il minimo comunimultiplo
. Per tua conoscenza, la derivata della tangente si può esprimere in 3 diversi modi:
$d/dxtanx=tan^2x+1$
$d/dxtanx=1/cos^2x$
$d/dxtanx=sec^2x$
e sono tutte espressioni equivalenti, come ti ho dimostrato più sopra
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