Dubbio insieme chiuso
Ciao ragazzi, stamattina il professore ci ha fatto un esercizio e questo mi ha lasciato qualche dubbio.
Dato questo insieme:
$E=\{x \in RR" tale che " x=((n^2 + 5)/(2n^2+3n+1)) ", con " n\in NN \}$
abbiamo analizzato il comportamento degli elementi nelle vicinanze del punto $1/2$ e abbiamo dedotto che questo appartiene sia alla frontiera ed è anche un punto di accumulazione. Poi il professore ha detto che 1/2 non appartiene all'insieme e quindi l'insieme E non è chiuso.
Ora io mi chiedo ma se sostituisco ad n il valore 3 allora la $x=14/28=1/2$
allora $1/2$ è un elemento dell'insieme no?quindi l'insieme sarà possibile considerarlo chiuso?
Dato questo insieme:
$E=\{x \in RR" tale che " x=((n^2 + 5)/(2n^2+3n+1)) ", con " n\in NN \}$
abbiamo analizzato il comportamento degli elementi nelle vicinanze del punto $1/2$ e abbiamo dedotto che questo appartiene sia alla frontiera ed è anche un punto di accumulazione. Poi il professore ha detto che 1/2 non appartiene all'insieme e quindi l'insieme E non è chiuso.
Ora io mi chiedo ma se sostituisco ad n il valore 3 allora la $x=14/28=1/2$
allora $1/2$ è un elemento dell'insieme no?quindi l'insieme sarà possibile considerarlo chiuso?
Risposte
Sì, se $1/2$ si può scrivere in quel modo (e mi pare si possa fare come hai fatto notare tu) allora appartiene all'insieme. Ma non puoi così dire che $E$ è chiuso; per farlo devi mostrare che contiene tutti i suoi punti di frontiera.
la frontiera sarebbe l'insieme E unito ad $1/2$. Non è chiuso?
Credo sia possibile fare un discorso di questo tipo: $E$ è definito tramite i naturali quindi dovrebbe essere a sua volta numerabile (lo possiamo anche vedere come sottoinsieme di $\QQ$ per confermare la sua numerabilità). Ora, siccome siamo in $\RR$ che possiamo vedere come spazio metrico (euclideo), i punti sono chiusi. Essendo allora $E$ unione numerabile di chiusi (i punti stessi) dovrebbe essere a sua volta chiuso.
Aspettiamo una conferma da qualcuno però che non sono completamente sicuro
Aspettiamo una conferma da qualcuno però che non sono completamente sicuro
"Injo":
Essendo allora $E$ unione numerabile di chiusi (i punti stessi) dovrebbe essere a sua volta chiuso.
Ciao, in realtà non è corretto dire che l'unione numerabile di chiusi è chiuso.
Sbagli con l'unione finita, quella sì è chiusa.
Un esempio banale per mostrare che un'unione numerabile di chiusi può non essere chiusa è $QQ$ stesso: è unione numerabile dei singoletti razionali, ma risulta
$\bar{QQ}=RR$, mentre se fosse stato chiuso doveva essere $\bar{QQ}=QQ$
Al contrario $ZZ$ mi torna che sia chiuso: infatti il suo complementare è l'unione dei vari intervalli $(k,k+1)\quad k\inZZ$, cioè unione infinita di aperti, cioè aperto, cioè il complementare $ZZ$ è chiuso.
Per tornare al discorso principale, concordo anch'io che l'insieme sia chiuso.
Basta dire che $1/2$ è l'unico punto di accumulazione ed è contenuto nell'insieme.
Se qualcosa non torna, sono disponibile a chiarire.
Ciao.
L'insieme $E$ è numerabile, però a rigore questo fatto andrebbe dimostrato meglio.
E' anche vero che i punti sono insiemi chiusi. Non è sempre vero però che un'unione numerabile di chiusi è un chiuso.
Ad esempio considero l'insieme:
$ F={yinRR: x=1/n, ninNN^+} $
il punto $y=0$ è di accumulazione per $F$, ma non appartiene a $F$, quindi $F$ non è chiuso.
Mostro adesso che l'insieme $E$ è chiuso.
Un insieme è chiuso se contiene tutti i suoi punti di aderenza, che possono essere di due tipi: punti isolati e punti di accumulazione.
I punti isolati appartengono sicuramente ad $E$, quindi non creano problemi.
La successione che definisce l'insieme $E$ ammette limite per $n->+inf$, che è $1/2$. Questo significa che $1/2$ è l'unico punto di accumulazione.
Inoltre $1/2 in E$.
Si conclude che $E$ è chiuso.
L'insieme $E$ è numerabile, però a rigore questo fatto andrebbe dimostrato meglio.
E' anche vero che i punti sono insiemi chiusi. Non è sempre vero però che un'unione numerabile di chiusi è un chiuso.
Ad esempio considero l'insieme:
$ F={yinRR: x=1/n, ninNN^+} $
il punto $y=0$ è di accumulazione per $F$, ma non appartiene a $F$, quindi $F$ non è chiuso.
Mostro adesso che l'insieme $E$ è chiuso.
Un insieme è chiuso se contiene tutti i suoi punti di aderenza, che possono essere di due tipi: punti isolati e punti di accumulazione.
I punti isolati appartengono sicuramente ad $E$, quindi non creano problemi.
La successione che definisce l'insieme $E$ ammette limite per $n->+inf$, che è $1/2$. Questo significa che $1/2$ è l'unico punto di accumulazione.
Inoltre $1/2 in E$.
Si conclude che $E$ è chiuso.
grazie ragazzi, lo dirò al professore ora che mi avete rassicurato sul fatto che è chiuso. Comunque più semplicemente non posso dire che, per le proprietà della caratterizzazione dei chiusi, visto che la frontiera è contenuta in E allora E è chiuso?
Si... in particolare in questo caso ti basta che l'unico punto di accumulazione è contenuto nell'insieme (e lo è).
In genere comunque tieni conto che può capitare che il prof o l'esercitatore sbaglino, specie per errori di distrazione simili, dopotutto sono essere umani anche loro (sarebbe preoccupante il contrario )
In genere comunque tieni conto che può capitare che il prof o l'esercitatore sbaglino, specie per errori di distrazione simili, dopotutto sono essere umani anche loro
(sarebbe preoccupante il contrario )
si si beh certo tutti siamo umani e possiamo sbagliare però se glielo faccio notare almeno lo dice a tutta la classe. Grazie a tutti comunque.
@Lory90: Ho sistemato la formula nel post iniziale.
Per stavolta passi, ma le prossime volte cerchiamo di usare MathML al posto del copia-incolla.
Per stavolta passi, ma le prossime volte cerchiamo di usare MathML al posto del copia-incolla.
"Gugo82":
@Lory90: Ho sistemato la formula nel post iniziale.
Per stavolta passi, ma le prossime volte cerchiamo di usare MathML al posto del copia-incolla.
Scusa ma non sapevo come poterlo scrivere. La prossima volta starò più attento.
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