Dubbio funzioni invertibili e equazioni differenziali

[dark121it]

Salve a tutti,

ho il seguente dubbio:
in genere, risolvendo equazioni differenziali, capita di dover invertire delle funzioni
per ricavare la funzione incognita $y$.
Mi è capitato di trovarmi di fronte a degli esercizi nel bel mezzo dei quali si dovrebbe (a mio parere) fare delle
considerazioni preliminari prima di poter effettuare l'inversione, e di notare invece che sui miei libri di testo nulla
venga detto in merito.
Ad esempio:

Consideriamo il problema di Cauchy

$y'=1+y^2$ e $y(0)=0$

dopo vari calcoli giungo a

$arctg(y)=x+c$ con $c\in \mathbb R$

la tentazione sarebbe quella di applicare direttamente la funzione $tg$ ad entrambi i membri.
Tuttavia, so che la funzione $arctg$ non è l'inversa della $tg$, bensì della funzione $ bar(tg) $ che definisco
come $tg$ ristretta a $ ] -\pi/2 , \pi/2 [ $
Per cui ottengo
$y=tg(x+c)$ con $x+c\in]-\pi/2,(\pi)/2[$

e imponendo la condizione iniziale ho in definitiva
$y=tg(x)$ $x\in]-\pi/2,\pi/2[$

La domanda è: le considerazioni che faccio sono necessarie? Oppure sono superflue?


Grazie.

[gugo82]

Sono necessarissime.

Ovviamente, però, la condizione iniziale la puoi imporre anche quando hai l'integrale in forma implicita, cioè la puoi imporre già a questo stadio [tex]$\arctan y=x+c$[/tex]; solo dopo aver determinato il valore buono (o i valori buoni) di [tex]$c$[/tex] ti preoccupi di esplicitare l'integrale.

[dark121it]

Ti ringrazio molto per la precisione e la celertà della risposta.

In tutto ciò, rimane lo sconcerto per il fatto che su diversi libri di testo tali considerazioni vengano omesse...
Meno male che c'è il Forum di matematicamente.it !!