Dubbio funzioni in più variabili, Aiuto!!!
Ciao a tutti, sto studiando analisi 2 da autodidatta dal sito di massimo gobbino e ho un dubbio sui limiti di funzione.
Consideriamo la funzione $ f:\mathbb{R^2} \to \mathbb{R}$ definita come $f(x,y) = \frac{xy^2}{x^2 + y^4} $
Non capisco una cosa: possiamo vedere facilmente che su ogni retta passante per l'origine $y = mx$ la funzione tende a $0$ mentre sulla parabola $x = y^2 $ la funzione è costantemente $1/2$.
Il mio dubbio è questo: se prendo un punto della parabola molto vicino a $(0,0)$ allora questo punto appartiene anche a una retta passante per l'origine... non ho una contraddizione? Ho un punto molto vicino a $(0,0)$ che appartiene a una retta e quindi la funzione è aribtrariamente vicino a 0 in questo punto ma allo stesso tempo questo punto appartiene anche alla parabola quindi la funzione su questo punto è uguale a $1/2$. Come è possibile!?
Consideriamo la funzione $ f:\mathbb{R^2} \to \mathbb{R}$ definita come $f(x,y) = \frac{xy^2}{x^2 + y^4} $
Non capisco una cosa: possiamo vedere facilmente che su ogni retta passante per l'origine $y = mx$ la funzione tende a $0$ mentre sulla parabola $x = y^2 $ la funzione è costantemente $1/2$.
Il mio dubbio è questo: se prendo un punto della parabola molto vicino a $(0,0)$ allora questo punto appartiene anche a una retta passante per l'origine... non ho una contraddizione? Ho un punto molto vicino a $(0,0)$ che appartiene a una retta e quindi la funzione è aribtrariamente vicino a 0 in questo punto ma allo stesso tempo questo punto appartiene anche alla parabola quindi la funzione su questo punto è uguale a $1/2$. Come è possibile!?
Risposte
Ritengo che la spiegazione risieda nel fatto che la funzione, proprio perchè esistono restrizioni con differente comportamento, non ammette limite per (0,0) e che il suo andamento vicino a tale punto è estremamente "frastagliato" e tale cambiare rapidamente valore per punti tra loro molto vicini e prossimi a (0,0). Scegliendo opportunamente i punti sarà quindi possibile avere punti che sembrano tendere a zero o che rimangono vicini a 1/2.
A questo riguardo bisogna osservare che un punto per appartenere sia alla retta $y=mx$ che alla parabola $x=y^2$ dovrà essere $x=0$ oppure $x=1/m^2$. Il primo ovviamente condurrebbe a prendere (0,0) che va escluso perchè non appartiene al campo di definizione, mentre il secondo al punto $(1/m^2,1/m)$ "lontano" da (0,0) a meno che m non tenda ad infinito (nel qual caso vorrebbe dire che di nuovo si tratta di (0,0)). In altre parole gli infiniti punti dove rette e parabola coincidono sono punti nei quali ancora non è iniziata la divaricazione nel comportamento.
Comunque questo non è un problema solo delle funzioni a più variabili, perchè è un comportamento che esiste anche per funzioni ad una variabile. Un caso molto simile è la funzione y=sin(1/x) che presenta lo stesso tipo di problema per x->0. Scegliendo opportune successioni molto prossime tra loro e tendenti comunque a x=0, sarà possibile avere qualunque numero compreso tra -1 e 1.
A questo riguardo bisogna osservare che un punto per appartenere sia alla retta $y=mx$ che alla parabola $x=y^2$ dovrà essere $x=0$ oppure $x=1/m^2$. Il primo ovviamente condurrebbe a prendere (0,0) che va escluso perchè non appartiene al campo di definizione, mentre il secondo al punto $(1/m^2,1/m)$ "lontano" da (0,0) a meno che m non tenda ad infinito (nel qual caso vorrebbe dire che di nuovo si tratta di (0,0)). In altre parole gli infiniti punti dove rette e parabola coincidono sono punti nei quali ancora non è iniziata la divaricazione nel comportamento.
Comunque questo non è un problema solo delle funzioni a più variabili, perchè è un comportamento che esiste anche per funzioni ad una variabile. Un caso molto simile è la funzione y=sin(1/x) che presenta lo stesso tipo di problema per x->0. Scegliendo opportune successioni molto prossime tra loro e tendenti comunque a x=0, sarà possibile avere qualunque numero compreso tra -1 e 1.
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