Dubbio forma differenziale

[Sk_Anonymous]

Ciao, ho la forma differenziale $-y/(x^2+y^2)dx+(x/(x^2+y^2))dy$. Il suo dominio è tutto il piano esclusa l'origine, che è un insieme connesso ma non semplicemente. Volevo verificare attraverso la definizione se la forma differenziale è esatta sul suo dominio. Attraverso il procedimento che permette di trovare una primitiva (ammesso che sia esatta), trovo la funzione $f(x,y)=-arctan(x/y)$. Ne faccio le derivate parziali e vedo che coincidono con le componenti della forma differenziale. Quindi sono tentato di dire che la forma differenziale è esatta in $RR^2-(0,0)$. Tuttavia il mio ragionamento è sbagliato!
Infatti la presunta primitiva che ho trovato non è definita su tutto il piano esclusa l'origine, ma è definita su tutto il piano escluso $y=0$ (e la definizione di f.d esatta richiede che la funzione le cui derivate parziali eguagliano le componenti della f.d per ogni elemento del dominio SIA DEFINITA sullo stesso insieme della forma differenziale). QUindi quella non è una primitiva.
Sono giusti questi ragionamenti? Grazie!

[Raptorista1]

Volendo essere proprio completi, si può dire se la forma è esatta anche in \(\mathbb R^2 - \{0\}\). Basta che tu faccia l'integrale della forma su una circonferenza [tipo \(\{|x| = 1\}\)] e veda se esce zero oppure no.