Dubbio forma di indecisione
$ oo * 0 $ so che è una forma di indecisione, ma non ho capito quello zero cosa rappresenta. E' inteso come un "non conosco il segno dello zero quindi non posso stabilire il limite"?
Ad esempio se ho $ 0^+ * oo $ non posso dire che è infinito? (penso di aver trovato dei controesempi, ma non ne sono sicuro).
Se considero la successione $ a_n = n^2 ((n+1)^(1/3)-n^(1/3)) $ il limite è dato dal prodotto dei limiti. $ n^2 -> oo $ mentre $ (n+1)^(1/3)-n^(1/3) -> 0^+$ (quest'ultimo non so come dimostrarlo, se riuscite a scrivermi come calcolarlo mi fareste un favore).
Essendo $ oo * 0^+ $ posso dire direttamente che la successione tende a infinito? Oppure come dovrei dimostrarlo?
Ad esempio se ho $ 0^+ * oo $ non posso dire che è infinito? (penso di aver trovato dei controesempi, ma non ne sono sicuro).
Se considero la successione $ a_n = n^2 ((n+1)^(1/3)-n^(1/3)) $ il limite è dato dal prodotto dei limiti. $ n^2 -> oo $ mentre $ (n+1)^(1/3)-n^(1/3) -> 0^+$ (quest'ultimo non so come dimostrarlo, se riuscite a scrivermi come calcolarlo mi fareste un favore).
Essendo $ oo * 0^+ $ posso dire direttamente che la successione tende a infinito? Oppure come dovrei dimostrarlo?
Risposte
Se hai una forma di indecisione $\infty\cdot 0$ non puoi dire niente! Indipendentemente dal fatto che sia $0^+$ o $0^-$! Altrimenti non si chiamerebbe forma di indecisione! Ogni caso va trattato in modo diverso, non c'è una regola generale. Un paio di esempi banali:
$n^2\cdot 1/n$ è del tipo $\infty\cdot 0$ ($n^2\to +\infty$ e $1/n\to 0$) e $n^2\cdot 1/n=n\to +infty$;
$n^2\cdot 1/n^3$ è del tipo $\infty\cdot 0$ ($n^2\to +\infty$ e $1/n^3\to 0$) e $n^2\cdot 1/n^3=1/n\to 0$.
$n^2\cdot c/n^2$ è del tipo $\infty\cdot 0$ ($n^2\to +\infty$ e $c/n^2\to 0$) e $n^2\cdot c/n^2=c\to c$ per qualunque costante $c\in\mathbb{R}$.
Dunque se hai una successione che tende all'infinito e una che tende a zero e le moltiplichi tra loro, quello che ottieni può essere $\infty$ (sia $+\infty$ che $-\infty$) o un qualunque valore reale.
$n^2\cdot 1/n$ è del tipo $\infty\cdot 0$ ($n^2\to +\infty$ e $1/n\to 0$) e $n^2\cdot 1/n=n\to +infty$;
$n^2\cdot 1/n^3$ è del tipo $\infty\cdot 0$ ($n^2\to +\infty$ e $1/n^3\to 0$) e $n^2\cdot 1/n^3=1/n\to 0$.
$n^2\cdot c/n^2$ è del tipo $\infty\cdot 0$ ($n^2\to +\infty$ e $c/n^2\to 0$) e $n^2\cdot c/n^2=c\to c$ per qualunque costante $c\in\mathbb{R}$.
Dunque se hai una successione che tende all'infinito e una che tende a zero e le moltiplichi tra loro, quello che ottieni può essere $\infty$ (sia $+\infty$ che $-\infty$) o un qualunque valore reale.
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