Dubbio esponenziale complesso
Si definisce per ogni numero complesso $ z=x+iy $ l'esponenziale complesso $ e^(x+iy) $ come il numero complesso $ w=e^(x+iy)=e^x(cosy+iseny) $ dove $ e^x=abs(w)=abs(e^(x+iy)) $ rappresenta il modulo dell'esponenziale complesso e $ e^(iy)=cosy+iseny $
Ora il libro dice anche che un numero complesso $ z=x+iy=rho(cosvartheta +isenvartheta ) $ dove $ rho=abs(z)=sqrt(x^2+y^2) $ e $ vartheta $ determinato da $ cosvartheta =x/rho $ e $ senvartheta =y/rho $ si può scrivere come $ z=rho e^(ivartheta ) $ . Ecco io non capisco quest'ultima relazione, ovvero come si fa a dire che $ e^(ivartheta)=cosvartheta +isenvartheta $ , quando per definizione di esponenziale complesso $ e^(iy)=cosy +iseny $ ? Cioé dato quel numero complesso $ z=x+iy $ , $ vartheta $ e $ y $ sono due angoli diversi. $ y $ rimane $ y $ mentre $ vartheta $ si calcola con quelle formule del seno e coseno. Spero che qualcuno riesca a darmi una delucidazione perché non ne riesco a venire a capo. L'unica cosa che mi viene da pensare è considerare nella formula $ e^(iy)=cosy+iseny $ la $ y $ come una variabile muta. Ma non saprei.
Ora il libro dice anche che un numero complesso $ z=x+iy=rho(cosvartheta +isenvartheta ) $ dove $ rho=abs(z)=sqrt(x^2+y^2) $ e $ vartheta $ determinato da $ cosvartheta =x/rho $ e $ senvartheta =y/rho $ si può scrivere come $ z=rho e^(ivartheta ) $ . Ecco io non capisco quest'ultima relazione, ovvero come si fa a dire che $ e^(ivartheta)=cosvartheta +isenvartheta $ , quando per definizione di esponenziale complesso $ e^(iy)=cosy +iseny $ ? Cioé dato quel numero complesso $ z=x+iy $ , $ vartheta $ e $ y $ sono due angoli diversi. $ y $ rimane $ y $ mentre $ vartheta $ si calcola con quelle formule del seno e coseno. Spero che qualcuno riesca a darmi una delucidazione perché non ne riesco a venire a capo. L'unica cosa che mi viene da pensare è considerare nella formula $ e^(iy)=cosy+iseny $ la $ y $ come una variabile muta. Ma non saprei.
Risposte
Ciao nico97it,
Non sono sicuro di aver capito la tua domanda, ma secondo me stai facendo confusione fra forma esponenziale, trigonometrica ed algebrica di un numero complesso e l'esponenziale di un numero complesso. Per quanto riguarda quest'ultimo si ha:
$ w = e^z = e^(x+iy) = e^x \cdot e^{iy} = e^x(cosy+isiny) $
e $|w| = |e^x \cdot e^{iy} | = e^x $
Occhio però che $|w| = e^x $ non è uguale a $\rho = \sqrt{x^2 + y^2} $ che invece è il modulo di $z$ se assumiamo per $z$ la rappresentazione $z = x + iy = \rho cos\theta + i\rho sin\theta = \rho e^{i\theta} $. Con questa rappresentazione si ha:
$|w| = e^x = e^{\rho cos\theta} $
Non sono sicuro di aver capito la tua domanda, ma secondo me stai facendo confusione fra forma esponenziale, trigonometrica ed algebrica di un numero complesso e l'esponenziale di un numero complesso. Per quanto riguarda quest'ultimo si ha:
$ w = e^z = e^(x+iy) = e^x \cdot e^{iy} = e^x(cosy+isiny) $
e $|w| = |e^x \cdot e^{iy} | = e^x $
Occhio però che $|w| = e^x $ non è uguale a $\rho = \sqrt{x^2 + y^2} $ che invece è il modulo di $z$ se assumiamo per $z$ la rappresentazione $z = x + iy = \rho cos\theta + i\rho sin\theta = \rho e^{i\theta} $. Con questa rappresentazione si ha:
$|w| = e^x = e^{\rho cos\theta} $
Cos'è un nome variabile?
Un apostrofo rosa tra le parole "$theta$, $y$... chiamala come vuoi, tant'è uguale".
Un apostrofo rosa tra le parole "$theta$, $y$... chiamala come vuoi, tant'è uguale".
Il mio dubbio riguarda la forma esponenziale di un numero complesso e non mi capacito come si arrivi a dimostrare che $ cosvartheta +isenvartheta =e^(ivartheta ) $
Sarà una domanda stupida ma proprio non riesco a capirlo.
Sarà una domanda stupida ma proprio non riesco a capirlo.
"nico97it":
Sarà una domanda stupida ma proprio non riesco a capirlo.
Non è una domanda stupida, quella è la formula di Eulero. Ci sono diversi modi di dimostrarla, ma sarebbe un po' lungo e soprattutto non so quale hai trattato, per cui nel dubbio ti rimando al link seguente:
https://it.wikipedia.org/wiki/Formula_di_Eulero
Ti ringrazio per la risposta. Non l'abbiamo dimostrata ma ci è stata data semplicemente la formula e da lì il dubbio. Almeno ora so da dove deriva. Grazie ancora!
"nico97it":
Il mio dubbio riguarda la forma esponenziale di un numero complesso e non mi capacito come si arrivi a dimostrare che $ cosvartheta +isenvartheta =e^(ivartheta ) $
Sarà una domanda stupida ma proprio non riesco a capirlo.
Scusa, ma che differenza c'è tra $e^(iy) = cos y + i sin y$ e $cos theta + i sin theta = e^(i theta)$?
"gugo82":
[quote="nico97it"]Il mio dubbio riguarda la forma esponenziale di un numero complesso e non mi capacito come si arrivi a dimostrare che $ cosvartheta +isenvartheta =e^(ivartheta ) $
Sarà una domanda stupida ma proprio non riesco a capirlo.
Scusa, ma che differenza c'è tra $e^(iy) = cos y + i sin y$ e $cos theta + i sin theta = e^(i theta)$?[/quote]
Si esatto.
Guarda che la mia domanda non prevedeva "Sì esatto" come risposta...
Che differenza c'è secondo te?
Che differenza c'è secondo te?
La risposta più plausibile è che si tratti di una variabile muta quindi tornerebbe la formula. Il fatto è che quel $ e^(iy)=cosy+iseny $ è stato definito dal libro prima per l'esponenziale e poi lo ha dato per scontato nello scrivere la forma esponenziale di un numero complesso, senza dare spiegazioni. Tuttavia da quello che ho capito si tratta della formula di Eulero che si dimostra essere così. Quindi non dovrebbe derivare direttamente da $ e^(iy)=cosy+iseny $ scambiando la $ y $ con $ vartheta $ .
La formula $ e^(iy)=cosy+i sin y $ è un’identità, ossia vale per ogni valore reale (ma anche complesso) di $y$. Nelle identità il nome variabile non è importante, dunque o usi $y$ o usi $theta$ è lo stesso.
La formula di Eulero che si dimostra è $x+i y = rho (cos theta + i sin theta)$ (con $rho >=0$ e $theta in RR$ appropriati) e, dato che $ cos theta + i sin theta = e^(i theta) $ per la precedente identità, ottieni la forma esponenziale $x+i y= rho e^(i theta)$ per sostituzione.
Per quanto riguarda il “dimostrare”, anche la formula $ e^(iy)=cosy+i sin y $ si dimostra (a meno che non si prenda come definizione dell’esponenziale di un numero immaginario puro).
La formula di Eulero che si dimostra è $x+i y = rho (cos theta + i sin theta)$ (con $rho >=0$ e $theta in RR$ appropriati) e, dato che $ cos theta + i sin theta = e^(i theta) $ per la precedente identità, ottieni la forma esponenziale $x+i y= rho e^(i theta)$ per sostituzione.
Per quanto riguarda il “dimostrare”, anche la formula $ e^(iy)=cosy+i sin y $ si dimostra (a meno che non si prenda come definizione dell’esponenziale di un numero immaginario puro).
Ti ringrazio, mi hai chiarito il dubbio 
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