Dubbio esistenza primitive
Allora ragazzi, mi trovo con questo esercizio, che mi servirà da esempio per tutti gli altri del suo genere:
$f(x)={(sqrt(x-1)/(1+root(3)(x-1)),if x>=2),((x^(\alpha)-3),if 1<=x<2)}$. Devo stabilire per quali valori di $\alphainRR$ la funzione ammette primitive su $RR$, e questo valore è $log_2 (7/2)$, e per quali valori ammette primitive generalizzate, cioè $AA\alphainRR$.
L'esercizio poi mi chiede di trovare i valori di $\alphainRR$ per cui esiste $\int_{1}^{3} f(t)dt$. Anche se in questo intervallo è compreso il punto di discontinuità $2$, secondo me l'integrale esiste $AA\alphainRR$, perchè l'integrale non diverge per $xrarr2$.
Dico cose giuste o sbagliate?
Grazie!
$f(x)={(sqrt(x-1)/(1+root(3)(x-1)),if x>=2),((x^(\alpha)-3),if 1<=x<2)}$. Devo stabilire per quali valori di $\alphainRR$ la funzione ammette primitive su $RR$, e questo valore è $log_2 (7/2)$, e per quali valori ammette primitive generalizzate, cioè $AA\alphainRR$.
L'esercizio poi mi chiede di trovare i valori di $\alphainRR$ per cui esiste $\int_{1}^{3} f(t)dt$. Anche se in questo intervallo è compreso il punto di discontinuità $2$, secondo me l'integrale esiste $AA\alphainRR$, perchè l'integrale non diverge per $xrarr2$.
Dico cose giuste o sbagliate?
Grazie!
Risposte
Per quanto riguarda il primo problema: in conseguenza del fatto che vale la proprietà di Darboux (dei valori intermedi) per la funzione derivata, tale funzione non ammette punti di discontinuità di prima specie.
Allora, visto che $lim_{x \to 2^+}f(x)=lim_{x \to 2^+}sqrt(x-1)/(1+root(3)(x-1))=1/2$ e che $lim_{x \to 2^-}x^(\alpha)-3=2^(\alpha)-3$ si deduce che deve essere $2^(\alpha)-3=1/2 rarr 2^(\alpha)=7/2 rarr \alpha=log_2(7/2)
Allora, visto che $lim_{x \to 2^+}f(x)=lim_{x \to 2^+}sqrt(x-1)/(1+root(3)(x-1))=1/2$ e che $lim_{x \to 2^-}x^(\alpha)-3=2^(\alpha)-3$ si deduce che deve essere $2^(\alpha)-3=1/2 rarr 2^(\alpha)=7/2 rarr \alpha=log_2(7/2)
Ok, quindi su questo siamo d'accordo.
Quello che mi chiedo io però è se è giusto dire che $\int_{1}^{3} f(t)dt$ esiste $AA\alphainRR$. Secondo me è così perchè $AA\alphainRR$ nell'intervallo considerato, c'è un unico punto di discontinuità, per il quale l'integrale converge. Di conseguenza l'integrale esiste.
Ma non sono sicura...
Quello che mi chiedo io però è se è giusto dire che $\int_{1}^{3} f(t)dt$ esiste $AA\alphainRR$. Secondo me è così perchè $AA\alphainRR$ nell'intervallo considerato, c'è un unico punto di discontinuità, per il quale l'integrale converge. Di conseguenza l'integrale esiste.
Ma non sono sicura...
Più correttamente dovresti scrivere:
$int_1^3 f(t)dt = int_1^2 f(t)dt + int_2^3 f(t)dt$
Da qui si può osservare che se $2$ è un punto di discontinuità, allora le primitive generalizzate esistono, quindi l'integrale esiste sempre!
$int_1^3 f(t)dt = int_1^2 f(t)dt + int_2^3 f(t)dt$
Da qui si può osservare che se $2$ è un punto di discontinuità, allora le primitive generalizzate esistono, quindi l'integrale esiste sempre!
Però l'integrale esiste sia perchè il punto di discontinuità è solo uno e, quindi, logicamente numerabile e perchè l'integrale improprio $int_2^3 f(t)dt$ converge. Sono queste le condizioni di esistenza dell'integrale, giusto?
Giusto! Ovvio che è per l'integrale di Riemann!
Perfetto, grazie mille! È proprio quello che volevo capire. Ciao!
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