Dubbio esistenza derivata parziale

[*brssfn76]

Ho un dubbio sul seguente esercizio:

data la funzione $f(x,y) = ysin(1/x) $ se $x!=0$ $, f(x,y) = 0 $ se x=0
esiste la derivata parziale?

1)Prima di verificare se esiste il limite del rapporto incrementale, non devo verificare
che la funzione si prolungabile per continuità lungo gli assi? Se faccio il limite per
$(x,y)->(0,y0)$ il limite non esiste.(Almeno mi sembra di capire...). Devo concludere che
non esiste la derivata parziale?

2)Se la derivata parziale non esiste allora f non è differenziabile?(come mi calcolo il gradiente???)

Grazie a chiunque avesse voglia di rispondermi

[_Tipper]

In $(0,0)$ la funzione è continua, ma direi che non è derivabile, quindi nemmeno differenziabile, né in quel punto né tantomeno su tutta la retta $x=0$

[Fioravante Patrone1]

attenzione, la funzione vale zero sugli assi (origine compresa) e quindi è parzialmente derivabile nell'origine e le sue derivate parziali sono nulle
Poi, sulla retta $y=x$ (ad esempio) è $f(x,x) = xsin(1/x)$ (per x diverso da zero), cui si applicano le considerazioni di Tipper e pertanto non è derivabile

non avendo una derivata direzionale, la f non è differenziabile nell'origine

infine, $|f(x,y)| \le |y|$ e $f(0,0) = 0$, quindi la $f$ è continua nell'origine (come dice Tipper)

s.e.o.