Dubbio esercizio topologia
Ciao ragazzi !
Sto cercando di svolgere il seguente esercizio
Si consideri lo spazio delle funzioni continue $ C([a,b]) $ su un intervallo $ [a,b] $ a valori reali (o complessi)
a) si dimostri che la seguente funzione definisce una metrica su di esso:
$ d(f,g)= Sup _(x in [a,b])|f(x)-g(x)| $
e che lo spazio è completo.
Ora... nessun problema per dimostrare che definisce una metrica.
Tuttavia non capisco una cosa, quando dimostro che è completo, ovvero che ogni di Cauchy ammette limite in tale spazio, dimostro che $ f(x) $ è limitata. Il libro poi procede col dimostrare la continuità!!
Ma perchè ?? Perchè devo mostrare anche la continuità?
grazie in anticipo per la risposta
Sto cercando di svolgere il seguente esercizio
Si consideri lo spazio delle funzioni continue $ C([a,b]) $ su un intervallo $ [a,b] $ a valori reali (o complessi)
a) si dimostri che la seguente funzione definisce una metrica su di esso:
$ d(f,g)= Sup _(x in [a,b])|f(x)-g(x)| $
e che lo spazio è completo.
Ora... nessun problema per dimostrare che definisce una metrica.
Tuttavia non capisco una cosa, quando dimostro che è completo, ovvero che ogni di Cauchy ammette limite in tale spazio, dimostro che $ f(x) $ è limitata. Il libro poi procede col dimostrare la continuità!!
Ma perchè ?? Perchè devo mostrare anche la continuità?
grazie in anticipo per la risposta
Risposte
Se volessi applicare la definizione, dovresti verificare che una generica successione di Cauchy $(f_n)_{n\ge 1}$ in $\mathcal{C}^0([a,b])$ ammette limite in $\mathcal{C}^0([a,b])$, cioè converge a una funzione continua $f$. Perché dimostri che $f$ - che suppongo sia il limite della generica successione di Cauchy - è limitata?
In ogni caso, $\mathcal{C}^0([a,b])$ è un sottospazio di $(\mathcal{B}([a,b]),"||"\cdot"||"_\infty)$ delle funzioni limitate[nota]Per il Teorema di Weiestraß.[/nota] su $[a,b]$, che è di Banach[nota]Ogni norma su uno spazio normato induce su di esso una distanza, dunque ogni spazio normato ha una struttura canonica di spazio metrico. Uno spazio di Banach è uno spazio normato che è completo rispetto alla distanza indotta dalla norma.
La distanza indotta dalla norma uniforme $"||"\cdot"||"_\infty$ su $\mathcal{B}([a,b])$ è proprio la tua $d$.[/nota]. Ti basta quindi dimostrare che $\mathcal{C}^0([a,b])$ è un suo sottoinsieme chiuso, ovvero che contiene i limiti di tutte le sue successioni convergenti. In altri termini, c'è da far vedere che se $(f_n)_{n\ge 1}$ è una successione di funzioni continue tale che $f_n\to f\in mathcal{B}([a,b])$, si ha che il limite $f$ è continuo. Prova
In ogni caso, $\mathcal{C}^0([a,b])$ è un sottospazio di $(\mathcal{B}([a,b]),"||"\cdot"||"_\infty)$ delle funzioni limitate[nota]Per il Teorema di Weiestraß.[/nota] su $[a,b]$, che è di Banach[nota]Ogni norma su uno spazio normato induce su di esso una distanza, dunque ogni spazio normato ha una struttura canonica di spazio metrico. Uno spazio di Banach è uno spazio normato che è completo rispetto alla distanza indotta dalla norma.
La distanza indotta dalla norma uniforme $"||"\cdot"||"_\infty$ su $\mathcal{B}([a,b])$ è proprio la tua $d$.[/nota]. Ti basta quindi dimostrare che $\mathcal{C}^0([a,b])$ è un suo sottoinsieme chiuso, ovvero che contiene i limiti di tutte le sue successioni convergenti. In altri termini, c'è da far vedere che se $(f_n)_{n\ge 1}$ è una successione di funzioni continue tale che $f_n\to f\in mathcal{B}([a,b])$, si ha che il limite $f$ è continuo. Prova
Grazie mille Pleep!!!! 
Prego 
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