Dubbio Esercizio Teorema Esistenza degli zeri
Ciao ragazzi, ho il seguente esercizio: Dimostrare applicando il teorema dell'esistenza degli zeri su un intervallo opportuno, che l'equazione logx=x-2 ammette radici reali.
Io ho fatto la seguente considerazione:
log(x) è definita ed è continua su intervallo che va da 0 a + infinito, mentre l'equazione x-2 è definita su tutto l'asse reale. Questo mi fa pensare che posso considerare l'intervallo chiuso 1,2 in quanto è contenuto sia in R che da 0 a + infinito.
Poi sostituisco i punti 1 e 2 alla f(x)= logx -x+2 e come risultati ho due soluzioni entrambi positive(log2 e 1). Posso concludere allora che f(x) non ammette radici reali?
grazie mille a coloro che risponderanno.
Io ho fatto la seguente considerazione:
log(x) è definita ed è continua su intervallo che va da 0 a + infinito, mentre l'equazione x-2 è definita su tutto l'asse reale. Questo mi fa pensare che posso considerare l'intervallo chiuso 1,2 in quanto è contenuto sia in R che da 0 a + infinito.
Poi sostituisco i punti 1 e 2 alla f(x)= logx -x+2 e come risultati ho due soluzioni entrambi positive(log2 e 1). Posso concludere allora che f(x) non ammette radici reali?
grazie mille a coloro che risponderanno.
Risposte
$ f(x)=lnx-x+2 $
Il problema equivale a dimostrare che $ EE x:f(x)=0 $
Osserviamo che la funzione è continua in quanto composizione di funzioni continue.
Prendiamo $ f(1)=1 > 0 $ e $ f(5)=ln5 -3 <0 $ , quindi per il teorema di esistenza degli zeri $ EE x in(1,5):f(x)=0 $ e la tesi è dimostrata.
Attento perché non vale il contrario, come hai asserito nel tuo post, se trovi due valori in cui è positiva non dimostri che lo è in tutto l'intervallo (per rendere l'idea: potrebbe essere andata giù e tornata su mentre percorreva l'intervallo).
Il problema equivale a dimostrare che $ EE x:f(x)=0 $
Osserviamo che la funzione è continua in quanto composizione di funzioni continue.
Prendiamo $ f(1)=1 > 0 $ e $ f(5)=ln5 -3 <0 $ , quindi per il teorema di esistenza degli zeri $ EE x in(1,5):f(x)=0 $ e la tesi è dimostrata.
Attento perché non vale il contrario, come hai asserito nel tuo post, se trovi due valori in cui è positiva non dimostri che lo è in tutto l'intervallo (per rendere l'idea: potrebbe essere andata giù e tornata su mentre percorreva l'intervallo).
Hai ragione, per svolgere questo esercizio infatti dovevo, errore mio che non ho fatto, prendere più intervalli e vedere le soluzioni. Grazie mille overflow94.
Ultimo esercizio :
Verificare che la funzione f: [0,1]U(2,3]-> R definita da:
f(x)= { x se x appartiene ad [0,1] ed x-1 se x appartiene ad (2,3] } è invertibile. La funzione f è continua nell'insieme di definizione? La funzione inversa è continua?
è corretto pensare: sia x che x-1 sono continue su tutto R. Di conseguenza, anche sull' intervallo dell'insieme dove sono definite cioè [0,1] ed (2,3], in quanto sono contenuti in R. Essendo, inoltre, continue e strett. crescenti(iniettive), ed inoltre derivabili, esiste la funzione inversa( a lvl locale). In conclusione posso affermare che l'inversa è continua negli intervalli definiti ma non in tutto l'intervallo R?
Ultimo esercizio :
Verificare che la funzione f: [0,1]U(2,3]-> R definita da:
f(x)= { x se x appartiene ad [0,1] ed x-1 se x appartiene ad (2,3] } è invertibile. La funzione f è continua nell'insieme di definizione? La funzione inversa è continua?
è corretto pensare: sia x che x-1 sono continue su tutto R. Di conseguenza, anche sull' intervallo dell'insieme dove sono definite cioè [0,1] ed (2,3], in quanto sono contenuti in R. Essendo, inoltre, continue e strett. crescenti(iniettive), ed inoltre derivabili, esiste la funzione inversa( a lvl locale). In conclusione posso affermare che l'inversa è continua negli intervalli definiti ma non in tutto l'intervallo R?
C'è qualcuno che possa aiutarmi in questo ultimo esercizio?
nessuno?
Io ci provo, secondo me la funzione è invertibile in quanto è una biezione tra il dominio di definizione e l'immagine , ma non è continua, infatti il dominio non è connesso, è però continua a tratti. L'inversa non è continua nemmeno lei, infatti invertendo dominio e immagine hai che questa è una biezione e l'immagine non è connessa
Ma è corretto dire: esiste la funzione inversa perché le due funzioni sono continue nell'intervallo di definizione e sono iniettive. Tuttavia essendo f=x cioè f: [0,1] → R una funzione continua ed iniettiva. Allora l’inversa f−1 : f([0,1]) → R `e continua. Mentre ciò non vale per f=x-1 che vive in un intervallo a sinistro aperto e a destra chiuso, in quanto non si soddisfa il teorema di continuità della funzione inversa. In conclusione, posso dire che la funzione inversa non è continua nell'insieme di definizione.
Siete d'accordo?
Siete d'accordo?
Si non è sbagliato, penso
Ragazzi, qualcuno che possa riconfermare quanto ho scritto?
Scusate l'insicurezza ma capire bene gli argomenti è per me fondamentale.
Scusate l'insicurezza ma capire bene gli argomenti è per me fondamentale.
C'è da dire però che il teorema di continuità della funzione inversa da una condizione sufficiente, non necessaria, quindi non penso basti dire che non valgono le ipotesi per concludere che allora la funzione inversa non è continua. Però l'immagine della funzione inversa non è un insieme connesso, quindi non è continua
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