Dubbio esercizio su serie numeriche

[mark36]

Ciao a tutti, mi sto cimentando da poco sulle serie numeriche (dato che ho da dare l'esame di analisi I e II!) ho avuto un po' di problemi però con questo esercizio:

Studiare la convergenza della serie:

[tex]\sum_{n=2}^\infty (\sqrt {n-1} - \sqrt {n+1})[/tex]

l'ho svolto, e ho usato il teorema del confronto asintotico. Alla fine però, nelle soluzioni lui si trova questa situazione (ha razionalizzato e ha cambiato segno perchè è una serie a termini negativi)

[tex]\lim_{n to \infty} \frac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}}[/tex]

A questo punto, usando il teorema del confronto asintotico moltiplica per [tex]\frac{\sqrt{n}}{2}[/tex]
e il risultato viene dunque 1/2. Quello che non capisco è, non basterebbe moltiplicare semplicemente per [tex]\sqrt{n}[/tex]? in questo modo si ottiene comunque un valore finito no? e torna però 1, che non coincide con il risultato finale!

[Noisemaker]

ma razionalizzando, come hai fatto tu hai
\begin{align}
\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}}\sim\frac{1}{2\sqrt n }\to\mbox{diverge}
\end{align}

[mark36]

Come? Scusa innanzitutto si cambia il segno perché è una serie a termini negativi , razionalizzando, al numeratore non viene :

[tex]n+1-n+1=2[/tex]?

[Noisemaker]

si .... ok .... ma le costanti incidono solo sulla somma della serie non sul comportamento asintotico ... in ogni caso:
\begin{align}
\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1}=\frac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}}\sim\frac{2}{2\sqrt n }=\frac{1}{\sqrt n }\to\mbox{diverge}
\end{align}

[Maci86]

Ma quella non è telescopica?
$sqrt(1)-sqrt(3) + sqrt(2) - sqrt(4) + sqrt(3) - sqrt(5)...$
Quindi non ci resta che calcolarla:
$sqrt(1) + sqrt(2) - sqrt(oo-1) -sqrt(oo+1)=-oo$