Dubbio esercizio su convergenza uniforme

[maryenn1]

Ciao a tutti,supponiamo che io abbia una serie di potenze e di dover studiare l'intervallo di convergenza e la convergenza uniforme. Se l'intervallo di convergenza è,per esempio, $] -1,1] $ e so che la serie converge totalmente in ogni intervallo compatto contenuto in $] -1,1] $,per studiare la convergenza uniforme posso dire che la serie converge uniformemente in ogni intervallo compatto contenuto in $] -1,1] $,poichè lì la serie converge totalmente e di conseguenza anche uniformemente?

[ACA2]

Direi di si, è una conseguenza del lemma di Abel che a grandi linee dice che una serie di potenze converge totalmente in ogni intervallo compatto contenuto nell'intervallo (aperto) definito dal raggio di convergenza. Detto un po' meglio:

Se la serie di potenze centrata in \(\displaystyle x_0 \) converge in \(\displaystyle x_1 \neq x_0 \), allora converge assolutamente per ogni \(\displaystyle x : |x - x_0| < |x_1 - x_0| \) e totalmente in ogni intervallo \(\displaystyle [x_0 - \sigma, x_0 + \sigma] \) con \(\displaystyle \sigma < |x_1 - x_0| \). Andando a cercare l'estremo superiore per \(\displaystyle \sigma \) si trova il raggio di convergenza.

Nel tuo caso il raggio di convergenza è 1, centrato in 0, dunque la tua serie converge totalmente in ogni intervallo \(\displaystyle [-\sigma, + \sigma ] \) con \(\displaystyle \sigma < 1 \).