Dubbio esercizio radici numero complesso
ho questa equazione $z^3=(2+3i)^3$
come devo fare per trovare le 3 radici di z?
o meglio devo calcolare il cubo e poi fare $z=root(3)(-46+9i)$ e trovare le 3 radici calcolando modulo e argomento e poi usando la formula $root(n)(|z|)*[cos((theta+2kpi)/n)+i*sen((theta+2kpi)/n)]$ ???
come devo fare per trovare le 3 radici di z?
o meglio devo calcolare il cubo e poi fare $z=root(3)(-46+9i)$ e trovare le 3 radici calcolando modulo e argomento e poi usando la formula $root(n)(|z|)*[cos((theta+2kpi)/n)+i*sen((theta+2kpi)/n)]$ ???
Risposte
Secondo me la via più facile è la seguente: porta a destra e scomponi come differenza di cubi.
$(z-(2+3i))(z^2 + (2+3i)^2 +z(2+3i))$
Nel secondo fattore sviluppi i calcoli e risolvi come normale eq. di 2° grado.
Paola
$(z-(2+3i))(z^2 + (2+3i)^2 +z(2+3i))$
Nel secondo fattore sviluppi i calcoli e risolvi come normale eq. di 2° grado.
Paola
"prime_number":
Secondo me la via più facile è la seguente: porta a destra e scomponi come differenza di cubi.
$(z-(2+3i))(z^2 + (2+3i)^2 +z(2+3i))$
Nel secondo fattore sviluppi i calcoli e risolvi come normale eq. di 2° grado.
Paola
e nel primo come mi muovo? sostituisco le due soluzioni trovate dal secondo fattore nel primo?
Ciao. Legge di annullamento del prodotto.
"Palliit":
Ciao. Legge di annullamento del prodotto.
quindi come dice Paola in pratica ho un prodotto dei due fattori uguale a zero.Metto a zero il primo e risolvo e metto a zero il secondo e risolvo così?
P.S. nell'equazione di secondo grado mi viene un argomento del numero complesso sotto radice ovvero $sqrt(b^2-4ac)$ che non è un angolo notevole come faccio per trovare le due radici?
Esatto.
"Palliit":
Esatto.
ok io ho $z^2+z(2+3i)+(2+3i)^2=0$ uso la formula per trovare le due soluzioni dell'equazione di secondo grado ovvero $(-b+sqrt(b^2−4ac))/(2a)$
però sotto la radice quando trovo l'argomento mi viene un angolo non notevole come faccio?
Così:
[tex]z_{1,2}=\frac{-2-3i\pm \sqrt{(2+3i)^2-4(2+3i)^2}}{2}=\frac{-2-3i\pm \sqrt{-3(2+3i)^2}}{2}=\frac{-2-3i\pm (2+3i)i\sqrt{3}}{2}=...[/tex]
[tex]z_{1,2}=\frac{-2-3i\pm \sqrt{(2+3i)^2-4(2+3i)^2}}{2}=\frac{-2-3i\pm \sqrt{-3(2+3i)^2}}{2}=\frac{-2-3i\pm (2+3i)i\sqrt{3}}{2}=...[/tex]
"Palliit":
Così:
[tex]z_{1,2}=\frac{-2-3i\pm \sqrt{(2+3i)^2-4(2+3i)^2}}{2}=\frac{-2-3i\pm \sqrt{-3(2+3i)^2}}{2}=\frac{-2-3i\pm (2+3i)i\sqrt{3}}{2}=...[/tex]
scusami ma non mi è chiaro l'ultimo passaggio ovvero $(-2-3i+(2+3i)i*sqrt(3))/2$ cioè il meno del 3 dentro la radice che fine ha fatto? poi perchè è comparsa una $i$ fuori?
piccolo appunto non bisogna mettere il $pm$ ma solo il $+$ perchè la radice ha già due soluzione nel campo complesso
$sqrt(-3)=sqrt(3*i^2)=i*sqrt3$.
E comunque il segno $\pm$ davanti ci vuole.
E comunque il segno $\pm$ davanti ci vuole.
"Palliit":
$sqrt(-3)=sqrt(3*i^2)=i*sqrt3$.
E comunque il segno $\pm$ davanti ci vuole.
mmm mi spiace deluderti ma il mio libro dice proprio come dico io ovvero dice:notare che il numeratore è scritto $-b+sqrt(b^2-4ac)$ , e non $-b pm sqrt(b^2-4ac)$, perchè, essendo ambientata in $CC$, il simbolo $sqrt()$ già contiene i due valori.
Il fatto che una scrittura come $sqrt z$ significhi contemporaneamente due valori diversi mi pare molto poco opportuno, in quanto se ad esempio ammettiamo che $sqrt(2i)$ valga sia $1+i$ sia $-1-i$ si arriverebbe all'assurdo: $1+i=sqrt(2i)=-1-i$ $rightarrow$ $1+i=-1-i$ $rightarrow$ $2+2i=0$.
Del resto è vero che molti testi indicano con: $^nsqrt z$ l'insieme delle radici n-esime di $z$, personalmente la trovo una notazione discutibile e del resto per una funzione polidroma credo non ci siano molte alternative, è davvero una questione di gusti quindi se il tuo libro dice così non è un problema, io il segno $\pm$ continuo a metterlo
Del resto è vero che molti testi indicano con: $^nsqrt z$ l'insieme delle radici n-esime di $z$, personalmente la trovo una notazione discutibile e del resto per una funzione polidroma credo non ci siano molte alternative, è davvero una questione di gusti quindi se il tuo libro dice così non è un problema, io il segno $\pm$ continuo a metterlo
"Palliit":
Il fatto che una scrittura come $sqrt z$ significhi contemporaneamente due valori diversi mi pare molto poco opportuno, in quanto se ad esempio ammettiamo che $sqrt(2i)$ valga sia $1+i$ sia $-1-i$ si arriverebbe all'assurdo: $1+i=sqrt(2i)=-1-i$ $rightarrow$ $1+i=-1-i$ $rightarrow$ $2+2i=0$.
Del resto è vero che molti testi indicano con: $^nsqrt z$ l'insieme delle radici n-esime di $z$, personalmente la trovo una notazione discutibile e del resto per una funzione polidroma credo non ci siano molte alternative, è davvero una questione di gusti quindi se il tuo libro dice così non è un problema, io il segno $\pm$ continuo a metterlo
capito il motivo
se ti interessa io uso come libro eserciziario "Analisi Matematica 1 e Algebra Lineare Esercizi" di Marco Boella io invece metterò sempre e solo il + perchè se no la mia professoressa universitaria mi mangia vivo
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