Dubbio esercizio limiti notevoli

[cri981]

$ lim_(x -> 0)log_2(1+4x)/(2^(2x)-1)=0/0 $

limiti notevoli da utilizzare:
$ lim_(x -> 0) log_a(1+x)/x=1/ln(a) $

$ lim_(x -> 0) (a^x-1)/x = ln(a) $
procedimento:

$ lim_(x -> 0) log_2(1+4x)/(2^(2x)-1)*(4x)/(4x)=lim_(x -> 0) log_2(1+4x) /(4x)lim_(x -> 0) (4x)/(2^(2x)-1) $

$ lim_(x -> 0) log_2(1+4x) /(4x) =1/ln(2) $


$ lim_(x -> 0) (4x)/(2^(2x)-1) = lim_(x -> 0) (4x)/(2^(2x)-1) (2x)/(2x)=lim_(x -> 0) (2x)/(2^(2x)-1) (4x)/(2x)=2lim_(x -> 0) (2x)/(2^(2x)-1) = 2 ln(2) $ questo risultato è giusto?

$ 1/ln2*2ln(2)=(2ln(2))/ln(2) $ c'è qualcosa che non mi torna perchè il risultato deve tornare:
$ 2/(ln^2(2) $

dove sto sbagliando?

Grazie a tutti per il vostro aiuto .

[lepre561]

[quote=cri98]$ lim_(x -> 0)log_2(1+4x)/(2^(2x)-1)=0/0 $

ti complichi la vita

$ lim_(x -> 0)log_2(1+4x)/(2^(2x)-1)*((4x)/(4x))*((2x)/(2x))$

$lim_(xto0) (1/(ln2*ln2))*((4x)/(2x))$

$2/ln^2x$

[pilloeffe]

Ragazzi... Non si fanno così i limiti, ma così:

$ \lim_{x \to 0} log_2(1+4x)/(2^(2x)-1) = \lim_{x \to 0} log_2(1+4x)/(4x) \cdot (4x)/(4^x-1) = 4 \cdot \lim_{x \to 0} log_2(1+4x)/(4x) \cdot 1/\frac{4^x-1}{x} = $
$ = 4 \cdot 1/ln(2) \cdot 1/ln(4) = 4 \cdot 1/ln(2) \cdot 1/(2 ln(2)) = 2/(ln^2(2) $

[lepre561]

cosa ha di sbagliato la mia risoluzione apparte la parte visiva?

[pilloeffe]

"lepre561":cosa ha di sbagliato la mia risoluzione apparte la parte visiva?

Il solito errore che fai sempre passando al limite a rate...
Poi anche il risultato finale:

"lepre561":$ 2/ln^2x $

[lepre561]

vabbe il risultato l'ho scritto sbagliato...ma questo fatto del limite a rate io non lo riesco a capire mi potresti fare un esempio per farmi capire che il mio procedimento è sbagliato?

[cri981]

ciao ragazzi,

grazie della risposta, una cosa che non mi torna è:

$ lim_(x -> 0) (2x)/(e^(2x)-1)= ln(2) $ o $ 1/ln(2) $ ?

Grazie!

[pilloeffe]

"cri98":ciao ragazzi, grazie della risposta

Prego.

"cri98":una cosa che non mi torna è: $ \lim_{x \to 0} (2x)/(e^(2x)-1) = ln(2) $ o $1/ln(2)$ ?

Nessuno dei due, dato che si ha:

$ \lim_{x \to 0} (2x)/(e^(2x)-1) = 1 $

[cri981]

perfetto ragazzi ho provato a svolgere nuovamente l'esercizio seguendo i vostri consigli.
adesso è tutto chiaro.

Grazie!