Dubbio esercizio forma differenziale

[Cloudy1]

Ciao a tutti,

Ho un piccolo dubbio riguardo ad esercizi come il seguente:

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Studiare la seguente forma differenziale:

$(x)/(x^2 + y^2) - (1)/(x)$dx + $(y)/(x^2 + y^2)$dy

e determinare la primitiva che si annulla in (−1,−1).

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Quando la forma differenziale non è esatta, come nel caso precedente, ha senso calcolarne la primitiva???

[ciampax]

Dici? A me pare, invece, sia chiusa che esatta (ovviamente se la stiamo considerando su un dominio che non contiene l'origine, cosa che non hai specificato).

[Cloudy1]

L'esercizio è quello della traccia, è non specifica tale cosa. Come mi conviene ragionare quindi???

[ciampax]

Bè, se derivi la prima rispetto a $y$ e la seconda rispetto a $x$ trovi che esse sono uguali, quindi la forma è chiusa. per essere esatta, devi necessariamente definirla su un semplicemente connesso che non contenga, però, l'origine. Allora su un tale insieme puoi calcolare le primitive, integrando, ad esempio, la prima rispetto ad $x$ e poi, derivando rispetto ad $y$, determinarne la forma completa.

[Cloudy1]

Però se considero come dominio $R^2 - {(0, 0)}$ esso non è semplicemente connesso infatti presenta un buco proprio nell'origine. Allora la forma non risulta esatta, ed è inutile calcolare la primitiva, giusto???

[ciampax]

Ma se consideri la circonferenza di centro (-1,-1) e raggio 1 questa è semplicemente connessa, e non contiene l'origine, quindi ha senso calcolare la primitiva!

[Cloudy1]

Per vedere se la forma precedente è esatta posso fare una circuitazione della forma su di una curva chiusa???

Ad esempio ho notato che l'integrale curvilineo sulla curva [cos t, sin t] con t $in$ [0, 2$\pi$] vale 0.

$\int_{\gamma}^{} \omegadt$ = $\int_{0}^{2\pi} a(x(t), y(t)) x'(t) + b(x(t), y(t)) y'(t)dt$ = 0

In base alla teorema della caratterizzazione delle forme esatte ciò significa che la forma è chiusa.
E' corretto il procedimento???

[abral]

"Cloudy":Per vedere se la forma precedente è esatta posso fare una circuitazione della forma su di una curva chiusa???

Ad esempio ho notato che l'integrale curvilineo sulla curva [cos t, sin t] con t $in$ [0, 2$\pi$] vale 0.

$\int_{\gamma}^{} \omegadt$ = $\int_{0}^{2\pi} a(x(t), y(t)) x'(t) + b(x(t), y(t)) y'(t)dt$ = 0

In base alla teorema della caratterizzazione delle forme esatte ciò significa che la forma è chiusa.
E' corretto il procedimento???

E' corretto fare in questo modo, ma non è quello il teorema da utilizzare.
Il teorema di caratterizzazione delle forme esatte asserisce che dire che una forma è esatta equivale a dire che lungo un qualsiasi percorso chiuso il suo integrale curvilineo vale 0. Invece tu lo stai facendo per un singolo percorso chiuso.

Però esiste un altro teorema che ti dice che se hai una forma differenziale chiusa in un aperto semplicemente connesso tranne un punto, allora basta trovare un solo circuito, che racchiuda il punto, lungo il quale l'integrale vale 0 per dire che quella forma è esatta.

[gugo82]

Noto che l'insieme di definizione di quella robina lì non è nemmeno connesso...

Quindi ci si deve restringere alla componente connessa che contiene [tex]$(-1,-1)$[/tex].

[abral]

Qui in effetti si avrebbero due aperti connessi differenti. Uno per x>0, l'altro per x<0.

gugo82, bisognerebbe calcolare una primitiva diversa per ogni aperto in questi casi? (io so che due primitive differiscono per una costante solo se sono entrambe dello stesso aperto connesso).