Dubbio esercizio forma differenziale
Ciao a tutti ho un dubbio sulla risoluzione di una tipologia di esercizi sulle forme differenziali.
In pratica il prof ci dà una funzione f(x, y) e poi ci dice di determinare una funzione g(x, y) tale che la forma di fferenziale
f(x, y)dx + g(x, y)dy
risulti chiusa ed esatta in R2.
Non ho prorpio idea su come procedere e non ho alcun esercizio d'esempio. Mi potete aiutare a capire il procedimento???
Grazie!
In pratica il prof ci dà una funzione f(x, y) e poi ci dice di determinare una funzione g(x, y) tale che la forma di fferenziale
f(x, y)dx + g(x, y)dy
risulti chiusa ed esatta in R2.
Non ho prorpio idea su come procedere e non ho alcun esercizio d'esempio. Mi potete aiutare a capire il procedimento???
Grazie!
Risposte
Usare le definizioni? Cosa significa che una forma differenziale è chiusa? E cosa significa che è esatta? Attraverso le definizioni ed un paio di teoremi "fondamentali" per questo argomento, dovresti trovare la strada.
Ammettiamo che la mia funzione sia:
Dala definizione, una forma differenziale si dice esatta se a(x, y) = DxF e b(x, y) = DyF.
Inoltre una forma differenziale esatta è chiusa.
Ora io ho la f(x, y) = a(x, y).
Per trovare g(x, y) = b(x, y) derivo la a(x, y) in dx per trovare la F è poi faccio la derivata rispetto a y???
Integrando f(x, y) in dx mi viene:
Derivando rispetto a y:
Allora ho infine:
E' corretto il procedimento???
Dala definizione, una forma differenziale si dice esatta se a(x, y) = DxF e b(x, y) = DyF.
Inoltre una forma differenziale esatta è chiusa.
Ora io ho la f(x, y) = a(x, y).
Per trovare g(x, y) = b(x, y) derivo la a(x, y) in dx per trovare la F è poi faccio la derivata rispetto a y???
Integrando f(x, y) in dx mi viene:
Derivando rispetto a y:
Allora ho infine:
E' corretto il procedimento???
Nessuno che mi aiuta 
???
???
Devi utilizzare la proprietà di chiusura: $(delf)/(dely) = (delg)/(delx)$. Nel tuo caso: $(delg)/(delx) = 4xy^3e^(x^2)$. Quindi integri rispetto a $x$.
Mi viene lo stesso risultato trovato applicando la definzione di forma esatta (sopra).
Presumo che siano corretti entrambi i procedimenti allora???
Presumo che siano corretti entrambi i procedimenti allora???
Le cose stanno così: prima devi verificare la chiusura e dopo andare a determinare l'esattezza (in generale).
Il procedimento che hai utilizzato è corretto: tra l'altro, una volta che hai determinato l'esattezza della forma, trovando l'integrale generale, come hai fatto sopra, automaticamente ottieni che la forma risulta chiusa. Speculor intendeva dire che nei casi generali per verificare l'esattezza occorre prima essere certi che ci sia chiusura, ma la tua situazione è di altro tipo: diciamo che quello che vuoi fare, dovendo verificare entrambe le condizioni, è risolvere contemporaneamente i seguenti problemi
trovare [tex]$F(x,y)$[/tex] tale che [tex]$\frac{\partial F}{\partial x}=f,\ \frac{\partial F}{\partial y}=g,$[/tex]
verificare che [tex]$\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial g}{\partial x}$[/tex]
Il procedimento che hai utilizzato è corretto: tra l'altro, una volta che hai determinato l'esattezza della forma, trovando l'integrale generale, come hai fatto sopra, automaticamente ottieni che la forma risulta chiusa. Speculor intendeva dire che nei casi generali per verificare l'esattezza occorre prima essere certi che ci sia chiusura, ma la tua situazione è di altro tipo: diciamo che quello che vuoi fare, dovendo verificare entrambe le condizioni, è risolvere contemporaneamente i seguenti problemi
trovare [tex]$F(x,y)$[/tex] tale che [tex]$\frac{\partial F}{\partial x}=f,\ \frac{\partial F}{\partial y}=g,$[/tex]
verificare che [tex]$\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial g}{\partial x}$[/tex]
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