Dubbio esercizio differenziabilità di funzione a due variabili

[sampe1]

vorrei cercare di capire e per quanto mi accanisca non riesco molto.

L'esercizio è il seguente:

Studiare differenziabilità in (0,0)
mi trovo la funzione: $f(x,y))|x|y+2y$
La professoressa ha così svolto:
verificando da definizione $f(h,k)-f(0,0)=|h|k+2k$
Se fosse differenziabile varrebbe la formula gradiente per incremento, che dà come risultato: 2k
e poi verifica che $|h|*k$ è o-piccolo di ||(h,k)|| (spoiler: lo è!)
Quindi è differenziabile

Il procedimento mi è chiaro, ma non mi trovo nei calcoli, in particolare non capisco come esca il termine |h|*k

[billyballo2123]

A me sembra che si debba verificare che $|h|k+2k$ (e non solamente $|h|k$) sia o-piccolo di $\sqrt{h^2+k^2}$...

[sampe1]

A dire il vero mi pareva giusto quanto affermava nell'esercizio,se hai voglia di leggere i passaggi, io avrei fatto così:

$f(x_0+h,y=+k)f(x_0-y_0)=d_xf(x_0,y_0)*(x-x_0)+d_yf(x_0,y_0)*(y-y_0)+\sqrt(h^2+k^2)$
ed essendo:
$d_xf(x_0,y_0)=0$
$d_yf(x_0,y_0)=|x|+2$
Sostituendo
$f(x_0+h,y=+k)f(x_0-y_0)=0*(h)+2*k+o(\sqrt(h^2+k^2))$
Il problema è che non capisco come esca dall $o(\sqrt(h^2+k^2))$ il valore $|h|k$

Torna?

[billyballo2123]

"sampe":A dire il vero mi pareva giusto quanto affermava nell'esercizio,se hai voglia di leggere i passaggi, io avrei fatto così:

$f(x_0+h,y=+k)f(x_0-y_0)=d_xf(x_0,y_0)*(x-x_0)+d_yf(x_0,y_0)*(y-y_0)+\sqrt(h^2+k^2)$
ed essendo:
$d_xf(x_0,y_0)=0$
$d_yf(x_0,y_0)=|x|+2$
Sostituendo
$f(x_0+h,y=+k)f(x_0-y_0)=0*(h)+2*k+o(\sqrt(h^2+k^2))$
Il problema è che non capisco come esca dall $o(\sqrt(h^2+k^2))$ il valore $|h|k$

Torna?

Dunque... se non ho capito male quello che tu vuoi dire con quello che hai scritto è (nel nostro caso $x_0=y_0=0$):
\[
df(x_0,y_0)=
\begin{bmatrix}
0 & 2
\end{bmatrix}
\]
e quindi
\[
f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)-df(x_0,y_0)(x_0+h \ \ y_0+k)^T \\
=f(h,k)-f(0,0)-
\begin{bmatrix}
0 & 2
\end{bmatrix}
(h \ \ k)^T \\
=|h|\cdot k+2k-0-0\cdot h-2\cdot k \\
=|h|\cdot k
\].
Per definizione, si ha quindi che $f$ è differenziabile nell'origine se e solo se $|h|\cdot k$ è un o-piccolo di $\sqrt{h^2+k^2}$ per $(h \ \ k) \to (0 \ \ 0)$, ovvero se e solo se
\[
\lim_{(h \ \ k)\to (0 \ \ 0)}\frac{|h|\cdot k}{\sqrt{h^2+k^2}} = 0.
\]
Se riesci a dimostrare che il limite qua sopra è effettivamente $0$, allora hai dimostrato che $f$ è differenziabile nell'origine.

[sampe1]

Grazie mille ora mi è chiaro.
Buona serata