Dubbio esercizio con forma differenziale
Ciao a tutti ! Ho dei dubbi su questo esercizio. Temo ci sia un errore nel testo
Sia $ A= R^2 \\ {(0,0)} $ e siano $ f,g inC^1(]0,+oo[) $ . Si consideri la forma differenziale su A
$ omega(x,y):= F = (xf(x^2+y^2)-(cy)/(x^2+y^2)) dx+(yg(x^2+y^2)+(ax)/(x^2+y^2))dy $
con $ ain RR $ .
Per quali coppie di funzioni $ f,g$ e costanti $ ainRR $ la forma è chiusa?
Ho impostato la condizione per la chiusura , cioè
$ (partial F)/(partial y)= (partial G)/(partial x) $ con
$ F = (xf(x^2+y^2)-(cy)/(x^2+y^2)) $
$ G =(yg(x^2+y^2)+(ax)/(x^2+y^2)) $
Ora visto che nel testo non specifica chi è c, non viene da pensare che ci sia un errore e che al posto di c ci vada
sempre $ a $ ?
Inoltre svolgendo i calcoli , mettendoci a al posto di c,
dopo aver imposto $ (partial F)/(partial y)= (partial G)/(partial x) $ arrivo a questa scrittura
$ f'y=g'x $
ove x e y stanno al pedice ad indicare la derivata. Da qui posso concludere che $ f= g$ ?
Oppure devo mettere $ f= g + k $ ? Solo che A non è un insieme connesso, e quest'ultima cosa accade negli insiemi connessi
Inoltre mettendo a al posto di c la forma viene chiusa per ogni valore di a.
Chi mi aiuta? Grazie
Sia $ A= R^2 \\ {(0,0)} $ e siano $ f,g inC^1(]0,+oo[) $ . Si consideri la forma differenziale su A
$ omega(x,y):= F = (xf(x^2+y^2)-(cy)/(x^2+y^2)) dx+(yg(x^2+y^2)+(ax)/(x^2+y^2))dy $
con $ ain RR $ .
Per quali coppie di funzioni $ f,g$ e costanti $ ainRR $ la forma è chiusa?
Ho impostato la condizione per la chiusura , cioè
$ (partial F)/(partial y)= (partial G)/(partial x) $ con
$ F = (xf(x^2+y^2)-(cy)/(x^2+y^2)) $
$ G =(yg(x^2+y^2)+(ax)/(x^2+y^2)) $
Ora visto che nel testo non specifica chi è c, non viene da pensare che ci sia un errore e che al posto di c ci vada
sempre $ a $ ?
Inoltre svolgendo i calcoli , mettendoci a al posto di c,
dopo aver imposto $ (partial F)/(partial y)= (partial G)/(partial x) $ arrivo a questa scrittura
$ f'y=g'x $
ove x e y stanno al pedice ad indicare la derivata. Da qui posso concludere che $ f= g$ ?
Oppure devo mettere $ f= g + k $ ? Solo che A non è un insieme connesso, e quest'ultima cosa accade negli insiemi connessi
Inoltre mettendo a al posto di c la forma viene chiusa per ogni valore di a.
Chi mi aiuta? Grazie
Risposte
La condizione di chiusura equivale a scrivere
$$2xy f'-c\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}=2yx g'+a\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}$$
con l'apice che indica la derivata delle due funzioni rispetto alla "loro" variabile, che possiamo indicare con $t=x^2+y^2$. Ovviamente, anche se $c$ fosse un valore costante qualsiasi, per ottenere una identità risulta necessario imporre $a=c$ e $f'(t)=g'(t)$ da cui segue $f(t)=g(t)+k$, cosa valida perché lintervallo $[0,+\infty)$ è connesso (e quindi vale un famoso teoremino di analisi 1).
$$2xy f'-c\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}=2yx g'+a\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}$$
con l'apice che indica la derivata delle due funzioni rispetto alla "loro" variabile, che possiamo indicare con $t=x^2+y^2$. Ovviamente, anche se $c$ fosse un valore costante qualsiasi, per ottenere una identità risulta necessario imporre $a=c$ e $f'(t)=g'(t)$ da cui segue $f(t)=g(t)+k$, cosa valida perché lintervallo $[0,+\infty)$ è connesso (e quindi vale un famoso teoremino di analisi 1).
grazie ciampax 
hai perfettamente ragione, l'intervallo
$ ] 0, + oo [ $ è un insieme connesso. Nel riflettere su questa cosa, avevo confuso questo intervallo
con l'insieme di definizione della forma
$ A = RR - {(0,0)} $
Una domanda però: come hai detto tu si deve considerare la derivata di $ f $ e $ g $ rispetto alla "loro variabile"
$ t = X^2 + y ^2$. Pero nel calcolare per esempio $ (partialF)/(partialy) $ io non devo tener conto che della funzione
$ f (x^2+y^2) $ mi serve solo la derivata rispetto alla y?
hai perfettamente ragione, l'intervallo$ ] 0, + oo [ $ è un insieme connesso. Nel riflettere su questa cosa, avevo confuso questo intervallo
con l'insieme di definizione della forma
$ A = RR - {(0,0)} $
Una domanda però: come hai detto tu si deve considerare la derivata di $ f $ e $ g $ rispetto alla "loro variabile"
$ t = X^2 + y ^2$. Pero nel calcolare per esempio $ (partialF)/(partialy) $ io non devo tener conto che della funzione
$ f (x^2+y^2) $ mi serve solo la derivata rispetto alla y?
Stai facendo la derivata di una funzione composta, per cui
$$\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{df}{dt}\cdot\frac{\partial t}{\partial y}=f'(t)\cdot 2y$$
chiaro?
$$\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{df}{dt}\cdot\frac{\partial t}{\partial y}=f'(t)\cdot 2y$$
chiaro?
Perfetto Ciampax, chiarissimo. Grazie mille 
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