Dubbio esecuzione esercizio principio di induzione
Salve,avrei questa disequazione da dimostrare tramite il principio di induzione
$ 3^n>=n^2+1 $
Allora, per $ cc P(0) $ ottengo $ 3^0 >= 0^2+1 $ quindi $ 1>= 1$, il che è vero.
Suppongo adesso che $ cc P(n) $ sia vera.
Poi non ho ben capito il processo; per ottenere $ cc P(n+1) $ ho fatto $ 3*3^n >= 3(n^2+1) $ il che risulta
$ 3^n+1 >= 3n^2+3$, ma dopo?
Ho cercato di riscrivere a destra della disequazione come $ cc P(n+1) $ il quale diviene
$ (n+1)^2 +1 = n^2+2n+1+1 = n^2 +2n +2 $
tuttavia non riesco a trovare il nesso tra $ 3n^2+3 $ e $ n^2+2n+2 $, noto che $ 3n^2+3 > n^2+2n+2 $
il che mi porta a dire che $ 3^(n+1)>= n^2+2n+2 $ ?
Non credo di aver ben capito come funziona il passo induttivo.
$ 3^n>=n^2+1 $
Allora, per $ cc P(0) $ ottengo $ 3^0 >= 0^2+1 $ quindi $ 1>= 1$, il che è vero.
Suppongo adesso che $ cc P(n) $ sia vera.
Poi non ho ben capito il processo; per ottenere $ cc P(n+1) $ ho fatto $ 3*3^n >= 3(n^2+1) $ il che risulta
$ 3^n+1 >= 3n^2+3$, ma dopo?
Ho cercato di riscrivere a destra della disequazione come $ cc P(n+1) $ il quale diviene
$ (n+1)^2 +1 = n^2+2n+1+1 = n^2 +2n +2 $
tuttavia non riesco a trovare il nesso tra $ 3n^2+3 $ e $ n^2+2n+2 $, noto che $ 3n^2+3 > n^2+2n+2 $
il che mi porta a dire che $ 3^(n+1)>= n^2+2n+2 $ ?
Non credo di aver ben capito come funziona il passo induttivo.
Risposte
Ciao Jonkaero,
Benvenuto sul forum!
Il che significa supporre che sia vero che $ 3^n >= n^2+1 $
Tesi: devi dimostrare che è vero che $3^{n + 1} >= (n + 1)^2+1 = n^2 + 2n + 2 $
Infatti ha:
$3^{n + 1} = 3 \cdot 3^n \ge 3\cdot (n^2 + 1) = 3n^2 + 3 > (n + 1)^2+1 $
come volevasi dimostrare.
Benvenuto sul forum!
"Jonkaero":
Suppongo adesso che $ cc P(n) $ sia vera.
Il che significa supporre che sia vero che $ 3^n >= n^2+1 $
Tesi: devi dimostrare che è vero che $3^{n + 1} >= (n + 1)^2+1 = n^2 + 2n + 2 $
Infatti ha:
$3^{n + 1} = 3 \cdot 3^n \ge 3\cdot (n^2 + 1) = 3n^2 + 3 > (n + 1)^2+1 $
come volevasi dimostrare.
in genere funziona così:
1- hai una qualche proprietà dipendente dai numeri naturali.
2- poni $U={n inNN: P(n)}$ ovvero l'insieme di valori per cui $P(n)$ sia vera
2 bis(base induttiva)- mostri che $0 inU$(o in genere $k inU$)
2 tris(passo induttivo)- mostri che se $k inU$ allora anche $k+1 inU$
3 - allora $U=NN$
dove l'ipotesi diventa $k in U$ e la tesi $k+1 inU$
in formule $(0 inUwedgeforallk inNN(k inU=>k+1 inU))=> U=NN$
'se $0$ sta in $U$ e per ogni $k$ naturale, se dallo stare $k$ in $U$ segue che anche $k+1$ sta in $U$, allora $U=NN$'
prendendo da quello che ha fatto @piloeffe
1- abbiamo la proprietà $3^ngeqn^2+1$ dipendente dai naturali
2- $U={ n inNN:3^ngeqn^2+1}$
2 bis(base induttiva)- poichè $3^0geq0^2+1$ allora $0 inU$
2 tris(passo induttivo)- qui mi prendo più spazio
la nostra ipotesi adesso è $k inU$ ovvero $3^kgeqk^2+1$ e la nostra tesi è che $k+1 inU$ ovvero $3^(k+1) geq (k+1)^2+1$
abbiamo che $3^(k+1)=3*(3^k)underbrace(geq)_(i p o t e s i) 3*(k^2+1)$
chiaramente $3k^2+3geqk^2+2k+2 <=> 2k^2-2k+1geq0, forall k inNN$ no?
pertanto si ottiene che:
quindi $U=NN$ e abbiamo finito.
1- hai una qualche proprietà dipendente dai numeri naturali.
2- poni $U={n inNN: P(n)}$ ovvero l'insieme di valori per cui $P(n)$ sia vera
2 bis(base induttiva)- mostri che $0 inU$(o in genere $k inU$)
2 tris(passo induttivo)- mostri che se $k inU$ allora anche $k+1 inU$
3 - allora $U=NN$
dove l'ipotesi diventa $k in U$ e la tesi $k+1 inU$
in formule $(0 inUwedgeforallk inNN(k inU=>k+1 inU))=> U=NN$
'se $0$ sta in $U$ e per ogni $k$ naturale, se dallo stare $k$ in $U$ segue che anche $k+1$ sta in $U$, allora $U=NN$'
prendendo da quello che ha fatto @piloeffe
1- abbiamo la proprietà $3^ngeqn^2+1$ dipendente dai naturali
2- $U={ n inNN:3^ngeqn^2+1}$
2 bis(base induttiva)- poichè $3^0geq0^2+1$ allora $0 inU$
2 tris(passo induttivo)- qui mi prendo più spazio
la nostra ipotesi adesso è $k inU$ ovvero $3^kgeqk^2+1$ e la nostra tesi è che $k+1 inU$ ovvero $3^(k+1) geq (k+1)^2+1$
abbiamo che $3^(k+1)=3*(3^k)underbrace(geq)_(i p o t e s i) 3*(k^2+1)$
chiaramente $3k^2+3geqk^2+2k+2 <=> 2k^2-2k+1geq0, forall k inNN$ no?
pertanto si ottiene che:
$3^(k+1)=3*(3^k)underbrace(geq)_(i p o t e s i) 3*(k^2+1)geq(k+1)^2+1 => k+1 inU$
quindi $U=NN$ e abbiamo finito.
Grazie a entrambi per le risposte, adesso mi è più chiaro.
Nel caso chiedo ancora nel forum
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