Dubbio equivalenze asintotiche/limiti notevoli

[andrea.corzino]

Buongiorno

Ho un dubbio riguardo a questo argomento...

Ad esempio so che il polinomio di Mc Laurin della funzione $ f(x)=1-cosx $ fermato al 3 ordine è :
$ P(x)=x^2/2+o(x^3) $

Perciò in un intorno di $ x_0=0 $ posso approssimare la funzione $ f(x) $ con $ P(x) $ trascurando i termini di grado superiore a tre (in questo caso) e perciò posso scrivere:
$ 1-cosx~~ x^2/2 $

Questa scrittura implica che:
1) $ lim_(x->0)(1-cosx)/(x^2/2)=1 $

ORA io data questa espressione vorrei ricondurmi con semplici passaggi algebrici all'espressione del Limite Notevole che trovo sul mio libro cioè a:
2) $ lim_(x->0)(1-cosx)/(x^2)=1/2 $

Ecco però non riesco passare dall'una all'altra espressione,cioè ad esempio passare dalla espressione 1) alle 2) attraverso semplici passaggi algebrici

Perchè se per x $lim_( x->0) $ ho l'espressione:
$ (1-cosx)/(x^2/2)=1 $

per arrivare giungere all'espressione 2) suppongo debba moltiplicare ambo i membri per un numero opportuno in modo da semplificare quel due a denominatore a sinistra e far apparire un 1/2 a destra
..solo che essendoci a sinistra potenzialmente una "frazione di frazione" se moltiplico ambo i membri per $ 1/2 $ ho:
$ [ (1-cosx)/(x^2/2)]*1/2=1*1/2 $
Che evidentemente non mi porta alla 2)

Qualche delucidazione su sta cosa,so che sarà una cosa idiota da elementare ma proprio non mi viene
Grazie

[Sk_Anonymous]

Ciao.

Una volta mostrato (come hai fatto) che vale

$lim_(x->0)(1-cosx)/(x^2/2)=1$

si ha:

$lim_(x->0)(1-cosx)/(x^2)=lim_(x->0)(1-cosx)/(x^2/2*2)=lim_(x->0)(1-cosx)/(x^2/2)*1/2=1*1/2=1/2$

Spero di aver risposto adeguatamente al quesito.

Saluti.

[andrea.corzino]

grazie mille !!!

Evidentemente sbagliavo il modo di ragionare visto che mi focalizzavo sui due membri separati dall'uguaglianza cercando poi di moltiplicare da ambo le parti per 1/2 (e appunto non mi veniva)....

Invece come hai mostrato tu bisogna ragionare su un singolo membro e svilupparlo in una serie di uguaglianze ma sempre lavorando sul singolo membro

[Sk_Anonymous]

Lieto di essere stato utile.

Saluti.