Dubbio equivalenze asintotiche/limiti notevoli
Buongiorno 
Ho un dubbio riguardo a questo argomento...
Ad esempio so che il polinomio di Mc Laurin della funzione $ f(x)=1-cosx $ fermato al 3 ordine è :
$ P(x)=x^2/2+o(x^3) $
Perciò in un intorno di $ x_0=0 $ posso approssimare la funzione $ f(x) $ con $ P(x) $ trascurando i termini di grado superiore a tre (in questo caso) e perciò posso scrivere:
$ 1-cosx~~ x^2/2 $
Questa scrittura implica che:
1) $ lim_(x->0)(1-cosx)/(x^2/2)=1 $
ORA io data questa espressione vorrei ricondurmi con semplici passaggi algebrici all'espressione del Limite Notevole che trovo sul mio libro cioè a:
2) $ lim_(x->0)(1-cosx)/(x^2)=1/2 $
Ecco però non riesco passare dall'una all'altra espressione,cioè ad esempio passare dalla espressione 1) alle 2) attraverso semplici passaggi algebrici
Perchè se per x $lim_( x->0) $ ho l'espressione:
$ (1-cosx)/(x^2/2)=1 $
per arrivare giungere all'espressione 2) suppongo debba moltiplicare ambo i membri per un numero opportuno in modo da semplificare quel due a denominatore a sinistra e far apparire un 1/2 a destra
..solo che essendoci a sinistra potenzialmente una "frazione di frazione" se moltiplico ambo i membri per $ 1/2 $ ho:
$ [ (1-cosx)/(x^2/2)]*1/2=1*1/2 $
Che evidentemente non mi porta alla 2)
Qualche delucidazione su sta cosa,so che sarà una cosa idiota da elementare ma proprio non mi viene
Grazie

Ho un dubbio riguardo a questo argomento...
Ad esempio so che il polinomio di Mc Laurin della funzione $ f(x)=1-cosx $ fermato al 3 ordine è :
$ P(x)=x^2/2+o(x^3) $
Perciò in un intorno di $ x_0=0 $ posso approssimare la funzione $ f(x) $ con $ P(x) $ trascurando i termini di grado superiore a tre (in questo caso) e perciò posso scrivere:
$ 1-cosx~~ x^2/2 $
Questa scrittura implica che:
1) $ lim_(x->0)(1-cosx)/(x^2/2)=1 $
ORA io data questa espressione vorrei ricondurmi con semplici passaggi algebrici all'espressione del Limite Notevole che trovo sul mio libro cioè a:
2) $ lim_(x->0)(1-cosx)/(x^2)=1/2 $
Ecco però non riesco passare dall'una all'altra espressione,cioè ad esempio passare dalla espressione 1) alle 2) attraverso semplici passaggi algebrici
Perchè se per x $lim_( x->0) $ ho l'espressione:
$ (1-cosx)/(x^2/2)=1 $
per arrivare giungere all'espressione 2) suppongo debba moltiplicare ambo i membri per un numero opportuno in modo da semplificare quel due a denominatore a sinistra e far apparire un 1/2 a destra
..solo che essendoci a sinistra potenzialmente una "frazione di frazione" se moltiplico ambo i membri per $ 1/2 $ ho:
$ [ (1-cosx)/(x^2/2)]*1/2=1*1/2 $
Che evidentemente non mi porta alla 2)
Qualche delucidazione su sta cosa,so che sarà una cosa idiota da elementare ma proprio non mi viene

Grazie
Risposte
Ciao.
Una volta mostrato (come hai fatto) che vale
$lim_(x->0)(1-cosx)/(x^2/2)=1$
si ha:
$lim_(x->0)(1-cosx)/(x^2)=lim_(x->0)(1-cosx)/(x^2/2*2)=lim_(x->0)(1-cosx)/(x^2/2)*1/2=1*1/2=1/2$
Spero di aver risposto adeguatamente al quesito.
Saluti.
Una volta mostrato (come hai fatto) che vale
$lim_(x->0)(1-cosx)/(x^2/2)=1$
si ha:
$lim_(x->0)(1-cosx)/(x^2)=lim_(x->0)(1-cosx)/(x^2/2*2)=lim_(x->0)(1-cosx)/(x^2/2)*1/2=1*1/2=1/2$
Spero di aver risposto adeguatamente al quesito.
Saluti.
grazie mille !!! 
Evidentemente sbagliavo il modo di ragionare visto che mi focalizzavo sui due membri separati dall'uguaglianza cercando poi di moltiplicare da ambo le parti per 1/2 (e appunto non mi veniva)....
Invece come hai mostrato tu bisogna ragionare su un singolo membro e svilupparlo in una serie di uguaglianze ma sempre lavorando sul singolo membro

Evidentemente sbagliavo il modo di ragionare visto che mi focalizzavo sui due membri separati dall'uguaglianza cercando poi di moltiplicare da ambo le parti per 1/2 (e appunto non mi veniva)....
Invece come hai mostrato tu bisogna ragionare su un singolo membro e svilupparlo in una serie di uguaglianze ma sempre lavorando sul singolo membro
Lieto di essere stato utile.
Saluti.
Saluti.