Dubbio equazione lineare non omegenea

[FrancescoMi1]

Ciao a tuttim, se ho un'equazione lineare a coeff costanti non omogenea del tipo $y''+y'+y=xe^(alphax)$ e trovo una soluzione $lambda$ che è diversa da $alpha$ come si procede?

[lordb]

Ciao,
è una equazione differenziale di secondo ordine non omogenea,il modo di procedere è standard:

Trovi le soluzioni dell'equazione caratteristica: $lambda^2+lambda+1=0$.

$lambda_(1,2)=(-1+-sqrt(3)i)/2$

Prendiamo $lambda_1=(-1+sqrt(3)i)/2=-1/2+sqrt(3)/2i$ e troviamo la soluzione complessa $vecphi^1(t)_(CC)=e^(lambda_1*t)$.

$vecphi^1(t)_(CC)=e^(-1/2t+i[sqrt(3)/2t])=e^(-1/2t)*e^(i[sqrt(3)/2t])=e^(-1/2t)*[cos(sqrt(3)/2t)+isin(sqrt(3)/2t)]$

Otteniamo un sistema fondamentale di soluzioni per l'omogenea:

${(phi^1(t)_(RR)=e^(-1/2t)*cos(sqrt(3)/2t)),(phi^2(t)_(RR)=e^(-1/2t)*cos(sqrt(3)/2t)):}$

Un integrale generale per l'omogenea é:

$phi(t)=sum_(i=1)^(2)(c_(i))_(in RR)*phi^i(t)_(RR)$

Sia $psi:AsubRR->RR$, $psi in C_(RR)^2$, soluzione particolare della non omogenea, allora:

$phi(t)=sum_(i=1)^(2)(c_(i))_(in RR)*phi^i(t)_(RR)+ psi(t)$ è un integrale generale per la non omogenea.

Troviamo $psi$ tramite il metodo per "simpatia".

L'equazione differenziale data è del tipo: $f(y'',y',y)=b(x)$ con $b(x)=e^(alpha*x)*P(x)$ con $deg(P(x))=1$.

Se $alpha!=lambda_1$ e $alpha!=lambda_2$ cercherai una $psi$ del tipo:

$psi(x)=e^(alpha*x)*Q(x)$ con $deg(Q(x))=deg(P(x))=1$, ovvero:

$psi(x)=e^(alpha*x)*[Ax+B]$ con $A,B in RR$.

Se vuoi degli esempi svolti con questo metodo ne feci tempo fa qui:

http://www.matematicamente.it/forum/dubbio-su-risoluzione-eq-differenziale-t99013.html