Dubbio equazione differenziale non omogenea del secondo ordine

[Kernul]

Ho fatto questo esercizio che mi chiede di trovare le soluzioni della seguente equazione differenziale:
$y'' + 2y' - 3y = 4e^(2x)$
Mi trovo subito che $y_O (x)= c_1 e^x + c_2 e^(-3x)$ e che $\bar y(x) = - e^(-x) - e^(5x)/5$
Vorrei sapere se la soluzione di questa equazione è $y(x) = c_1 e^x + c_2 e^(-3x) - e^(-x) - e^(5x)/5$. Dato che volevo esserne sicuro sono andato a vedere il risultato su wolframalpha ma lì scrive $y(x) = c_1 e^x + c_2 e^(-3x) - (4e^(2x))/5$, il ché è diverso. Ho sbagliato qualcosa? I determinanti che mi trovo con il metodo di Cramer sono $D = -4 e^(-2x), D_1 = -4 e^(-x), D_2 = 4 e^(3x)$, da cui mi trovo poi le due soluzioni con $D_1/D = e^(-x)$ e $D_2/D = -e^(-5x)$ e facendo gli integrali. Ho fatto e rifatto i calcoli ma niente sembra sbagliato.

Comunque, dopo questo l'esercizio mi dice che le soluzioni si annullano all'origine (quindi $x = 0, y = 0$) ed hanno limite finito per $x \to \infty$ (cioè $lim_{x \to \infty} y(x) = l$).
Immagino debba mettere le due cose a sistema e quindi avere una cosa del tipo:
$\{(y(0) = 0),(lim_{x \to \infty} y(x) = l):}$
Giusto? Se sì, come dovrei procedere?

[f4747912]

Allora ci sei che abbiamo l'omogenea associata che sarebbe $C1e^(-3x)+C2e^x$

ora serve la soluzione particolare..
essendo che $alpha$ non coincide con le radici che hai trovato, la soluzione particolare è del tipo

$varphi= ae^(2x)$
$varphi'= 2ae^(2x)$
$varphi''= 4ae^(2x)$

ora sostituisco..

$(4a+4a-12a)e^(2x)=4$
$(-5a=4)$
$a=-4/5$




quindi
$CIe^(-3x)+C2e^x -4/5e^(2x)$


per la seconda parte non è che si tratta del problema di caucy?...

[Kernul]

Scusa ma non capisco che intendi con "$\alpha$ non coincide con le radici che hai trovato". Cos'è $\alpha$? E di quali radici parli? Quelle della omogenea o della particolare?

[f4747912]

Scusami se sono stato poco chiaro, ho come riferimento il mio libro per cui non tutti usano gli stessi metodi..

allora ti spiego.. in questo caso alfa che sarebbe $2$ riferito a $4e^(2x)$ non è radice dell'equazione omogenea associata.

Nel caso lo fosse stato.. dovevi moltiplicare per x la soluzione particolare.

[Kernul]

Cioè mi stai dicendo che $\alpha = 2$ in $4e^(\alpha x)$?

[f4747912]

esatto il tuo alfa è 2 e non coincide con le radici dell'equazione omogenea associata.