Dubbio equazione differenziale del secondo ordine?

[markolino]

Ho la seguente equazione lineare del seguente ordine:

[tex]y{}''= t^2[/tex]

Il libro per risolverla considera l'equazione omogenea associata:

[tex]yo(t) = a1+a2t[/tex]

Quindi non so come si ricava la soluzione particolare [tex]yp(t) = t^2(at^2+bt+c) = at^4+bt^3+ct^2[/tex], quindi si calcola [tex]y'p(t)[/tex] e [tex]y{}"p(t)[/tex] e si ricava infine i coefficienti [tex]a = 1/12[/tex] e [tex]b = c = 0[/tex]. Quindi alla fine si ottiene la soluzione generale:

[tex]yg(t) = yo(t) + yp(t) = a1+a2t+(1/12)t^2[/tex]

Io per risolverla ho utilizzato il metodo di variazione delle costanti, quindi mi sono trovato [tex]yo(t) = a1+a2t[/tex] quindi ho:

[tex]y1(t) = 1[/tex]

[tex]y2(t) = t[/tex]

quindi risolvendo il sistema:

[tex]c1'(t)y1(t) + c2'(t)y2(t) = 0[/tex]
[tex]c1'(t)y1'(t) + c2'(t)y2'(t) = t^2[/tex]

[tex]c1' + c2't = 0[/tex]
[tex]c2' = t^2[/tex]

si ottiene:

[tex]c1' = -t^3[/tex]
[tex]c2' = t^2[/tex]

quindi integrando:

[tex]c1 = -(1/4)t^4[/tex]
[tex]c2 = (1/3)t^3[/tex]

ottengo pertanto la mia [tex]yp(t) = c1y1(t) + c2y2(t) = -(1/4)t^4 + (1/3)t^4 = 1/12t^4[/tex]

E alla fine ho la mia soluzione generale:

[tex]yg(t) = a1+a2t+(1/12)t^4[/tex]

Però risulta diversa da quella trovata nelle soluzioni del libro, infatti sul libro viene:

[tex]yg(t) = a1+a2t+(1/12)t^2[/tex]

Dove ho sbagliato?? Ho ricontrollato i calcoli ma sono giusti e anche il mio procedimento dovrebbe essere corretto..

[laura1232]

nel libro $1/12$ è il coefficiente di $t^4$ quindi viene la stessa della tua

[markolino]

Quindi c'è un errore di battitura suppongo.. Però non ho capito il metodo che ha utilizzato il libro, cioè io ho utilizzato il metodo di variazione delle costanti invece lui si è calcolato la soluzione particolare in un altro modo cioè ha scritto:

[tex]yp(t) = t^2(at^2+bt+c) = at^4+bt^3+ct^2[/tex]

Poi ha derivato due volte ed ha ottenuto [tex]y'p(t)[/tex] e [tex]y"p(t)[/tex] quindi considerando l'equazione [tex]y{}''= t^2[/tex] ha sostituito ed ha uguagliato il tutto a [tex]t^2[/tex], quindi ha imposto le condizioni sui coefficienti e si è trovato quest'ultimi. Però qualcuno mi potrebbe spiegare come è arrivato a scrivere:

[tex]yp(t) = t^2(at^2+bt+c) = at^4+bt^3+ct^2[/tex]

[laura1232]

E' il metodo pratico per la risoluzione di alcune equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti. In alcuni casi, come in questo, quando il termine noto (quello senza $y$) ha una forma particolare si può trovare una soluzione particolare dell'equazione con delle tecniche specifiche, ad esempio se il termine noto ha la forma $f(t)=e^{lambda t}p_m(t)$ con $p_m(t)$ polinomio di grado $m$ si ha
1) se $lambda$ non è soluzione dell'equazione associata all'omogenea allora un integrale particolare è del tipo $e^{lambda t} q_m(t)$ dove $q_m(t)$ è un polinomio di grado $m$;
2) se $lambda$ è soluzione dell'equazione associata all'omogenea con molteplicità $h$ allora un integrale particolare è del tipo $t^h e^{lambda t} q_m(t)$.;
Nel tuo caso $lambda=0$ e $p_m(t)=t^2$ quindi $m=2$, poichè $0$ è soluzione dell'equazione associata con molteplicità 2 (quindi $h=2$) cercherai una soluzione nella forma $t^2 q_2(x)$ cioè $t^2(at^2+bt+c)$

[markolino]

Ok però avrei ancora dei dubbi, consideriamo queste due equazioni differenziali:

[tex]y"+y=sin2t[/tex]

[tex]y"+y =sint[/tex]

Per la prima ho [tex]yo(t) = a1cos2t+a2sin2t[/tex] e per la seconda [tex]yp(t)=a1cost+a2sint[/tex]. Però per la prima il libro scrive la soluzione particolare [tex]yp(t) = acos2t + bsin2t[/tex] mentre per la seconda [tex]yp(t) = t(acost+bsint)[/tex] io però avrei scritto la soluzione particolare della seconda come [tex]yp(t) = acost + bsint[/tex] invece così facendo la seconda equazione non si risolve perchè mi si annullano i termini quando poi derivo e vado a trovarmi i coefficienti.. Volevo avere chiarezza su questo punto, perchè con il metodo di variazione delle costanti le risolvo però a volte escono integrali abbastanza onerosi..

[laura1232]

Quella che hai proposto è un'altra forma particolare del termine noto:
Se $f(x)=e^{lambda t}[p_m(t) cos mu t+r_n(t) sin mu t]$ con $p_m$ e $r_n$ polinomi di grado rispettivamente $m$ e $n$ allora:

[*:3dkekxc2] se $lambda+- i mu$ non è soluzione dell'equazione associata all'omogenea cercherai una soluzione particolare del tipo
$e^{lambda t}[q_k(t) cos mu t+s_k(t) sin mu t]$
dove $q_k$ e $s_k$ sono polinomi di grado $k=max\{m,n\}$ [/*:m:3dkekxc2]
[*:3dkekxc2] se $lambda+- i mu$ è soluzione dell'equazione associata all'omogenea con molteplicità $h$ cercherai una soluzione particolare del tipo
$t^h e^{lambda t}[q_k(t) cos mu t+s_k(t) sin mu t]$ con $k=max\{m,n\}$ [/*:m:3dkekxc2][/list:u:3dkekxc2]

[Sk_Anonymous]

"ireon":
Ho la seguente equazione lineare del seguente ordine:

$[y''(t)=t^2]$

Perdonami ma, il procedimento che hai utilizzato è abnorme. Basta integrare due volte:

$[y''(t)=t^2] rarr [y'(t)=t^3/3+A] rarr [y(t)=t^4/12+At+B]$

[markolino]

Si lo che bastava integrare due volte, in questo caso era semplice, ma comunque era un esempio per capire il procedimento.

Ok però come faccio a capire se [tex]λ±iμ[/tex] è soluzione dell'equazione associata all'omogenea?

[markolino]

Se ad esempio ho la seguente equazione differenziale:

[tex]y"+2y'+5y=t^2e^{-t}cos2t[/tex]

Come dovrei scrivere la soluzione particolare??

In questo caso [tex]\lambda[/tex] è soluzione dell'equazione associata all'omogenea quindi secondo la regola che mi hai scritto dovrei scrivere:

[tex]yp(t) = t^2(ae^{-t}cos2t+be^{-t}sin2t)[/tex]

È giusto?

[laura1232]

"laura123":$...f(x)=e^{λt}[p_m(t)cos mu t+r_n(t)sin mut]$... se $λ±iμ$ è soluzione dell'equazione associata all'omogenea con molteplicità $h$ cercherai una soluzione particolare del tipo
$t^h e^{lambda t}[q_k(t)cos mu t+s_k(t) sin mu t]$ con $k=max{m,n}$

nel tuo caso $f(t)=t^2 e^{−t}cos 2t $ quindi
$lambda=-1$
$mu=2$
$p_m(t)=t^2$
$r_n(t)=0$
le soluzioni dell'omogenea associata sono $-1+- 2i$ quindi $lambda +-i mu$ ha molteplicità $1$ da cui $h=1$
$k=max\{2,0\}=2$
la soluzione particolare avrà la forma
$y_0(t)=t e^{-t}[(at^2+bt+c)cos 2 t+(a_1 t^2+b_1 t+c_1)sin 2 t]$
per il resto i calcoli sono abbastanza lunghi... in questo caso penso sia meglio il metodo di Lagrange

[markolino]

Ok ma allora non dovrebbe essere:

[tex]yp(t) = t^2e^{-t}[(at^2+bt+c)cos2t+(dt^2+et+f)sin2t][/tex]

[laura1232]

non $t^2$ ma $t$..la molteplicità della radice è $1$