Dubbio Equazione Differenziale

[p4ngm4n]

viene chiesto di risolvere l'equazione differenziale $y^('')+y=ex$ con $y(pi)=1$ $ y^{\prime}(pi)=0$

allora volevo chiedervi innanzitutto se le altre condizioni stanno a significare un problema di cauchy (credo di si).

poi ho risolto in un primo momento l'equazione trovandomi l'integrale particolare dell'omogenea associata e poi usando un polinomio di primo grado (come il termine noto) ho trovato l'int generale. Pensavo di avere sbagliato così ho risolto la stessa con il metodo della variazione delle costanti, un pò più tortuoso nei calcoli. Alla fine mi sono trovato lo stesso risultato. Quindi posso usare in questi casi indistintamente uno o l'altro metodo (preferibile il primo perchè più semplice nei calcoli)???
Aspetto una risposta a questa domanda poi ne posto un'altra!!!

[cavallipurosangue]

Fino a che sei in grado puoi sempre usare il metodo della somiglianza. Quindi se intuisci la forma della soluzione in qualche modo puoi sostituirla e trovare i valori delle costanti che ti parmettono di ottenere la soluzione particolare.

[p4ngm4n]

allora mi trovo come integrale generale dell'equazione $ y = c_1cosx+c_2senx+ex$
come faccio a risolvere il pb di cauchy???
con quelli del secondo ordine non sono molto pratico

[cavallipurosangue]

Basta che imponi che la soluzione in $x=pi$ assuma quel valore e trovi una equazione in $c_1$ e $c_2$ incognite, poi derivi la soluzione che hai trovato e imponi che per $x=pi$ faccia 0 e trovi una seconda equazione sempre con incognite le due costanti, quindi hai un sistema 2x2 che puoi risolvere.

[david_e1]

"p4ngm4n":allora mi trovo come integrale generale dell'equazione $ y = c_1cosx+c_2senx+ex$
come faccio a risolvere il pb di cauchy???
con quelli del secondo ordine non sono molto pratico

Imponi $y(\pi)=1$ e $y'(\pi)=0$, ottieni due equazioni algebriche, lineari, in $c_1$ e $c_2$, risolvendole trovi le costanti da inserire nella formula.

[p4ngm4n]

la situazione è la seguente ed ho problemi nella risoluzione:

$y(pi)=1 => C_1+pi*e=1$

come la risolvo questa?

[cavallipurosangue]

a parte che c'è il meno davanti a $c_1$, ma poi... che vuoi che ci voglia... basta portare all'altro membro

$c_1=\pie-1$...

[p4ngm4n]

che stupido che sono... per y^' devo derivare la soluzione completa vero? poi metto a sistema le
2 condizioni come mi avete già detto


poi mi viene

$y^{\prime}(pi)=-C_1^{\prime}-C_2+pi=0$ come faccio con questa dove c1 mi compare con la sua derivata???


credo di aver capito. Derivando il $C_1$ che trovo sopra mi viene zero, poi di conseguenza trovo $C_2$ ho sostituito ed ho visto che il risultato è corretto.
grazie

[cavallipurosangue]

Già... Ed hai anche fortuna che in questo caso le due equazioni sono disaccoppiate...

[david_e1]

"p4ngm4n":che stupido che sono... per y^' devo derivare la soluzione completa vero? poi metto a sistema le 2 condizioni come mi avete già detto


poi mi viene

$y^{\prime}(pi)=-C_1^{\prime}-C_2+pi=0$ come faccio con questa dove c1 mi compare con la sua derivata???

$C_1$ è una costante... non viene derivata.

[p4ngm4n]

Si me ne sono accorto. Mi confondevo perchè la volevo considerare funzione di x quando non lo era!!!

Grazie per l'aiuto