Dubbio equazione diff.

[N56VZ]

Ciao ragazzi devo risolvere la seguente eq. differenziale:
$ { ( u'(t)=2e^(-u(t)) ),( u(0)=ln 3 ):} $

Ho risolto l'eq. nel modo seguente
$inte^(-y)=2t+c$
che diventa
$-e^(-y)=2t+c$
mi ricavo c, usando la condizione iniziale: $c=-1/3$
Adesso l'esercizio mi chiede il valore di $e^(u(3))$ tuttavia arrivato a questo punto trovo che il valore è $-3/17$ che non è tra le soluzioni, cosa sto sbagliando?

[ciampax]

No, se vuoi risolvere l'equazione devi calcolare questo integrale $\int_{\ln 3}^u e^y\ dy=2\int_0^t s\ ds$

[N56VZ]

Ciao, come arrivi a questa conclusione?
Non si opera spezzando i differenziali?
Comunque non riesco ad ottenere il risultato..

[ciampax]

Ci arrivo perché si ha $u'=2e^{-u}\ \Rightarrow\ e^u u'=2$.

[gugo82]

"N56VZ":Non si opera spezzando i differenziali?

Quello che citi è un metodo bruto (ed anche brutto) che può servire per abbreviare un po' i conti, ma in realtà non ha alcun senso formale; c'è chi, scherzosamente, l'ha battezzato metodo urang-utang© per la sua brutalità.
In proposito, vedi queste dispensine del prof. Patrone.

"N56VZ":come arrivi a questa conclusione?

Beh, per capire ti basta guardare in faccia la EDO e chiederti: "che ci faccio, di sensato, con questa uguaglianza (cioé la EDO)?".

Proviamo un po' a vedere.
Innanzitutto, osservi che il PdC:
\[
\left\{
\begin{split}
u^\prime (x) &= 2\ e^{-u(x)}\\
u(0) &= \ln 3
\end{split}\right.
\]
ha un'unica soluzione locale (per il teorema di esistenza ed unicità locale) e che tale soluzione locale, per altri fatti di teoria, può essere prolungata in una soluzione massimale. Se, chiamiamo \(u(x;0,\ln 3)\) la soluzione massimale ottenuta prolungando la soluzione locale, tale soluzione massimale è unica (perché siamo localmente in regime di esistenza ed unicità) ed è definita in un intervallo del tipo \(]X_-,X^+[\), i cui estremi ancora non conosciamo (ma sappiamo che \(-\infty \leq X_-<0
Torniamo ora alla questione primigenia "che ci faccio, di sensato, con questa uguaglianza?"...
Beh, anche se non ne conosci esplicitamente la soluzione, dalla EDO puoi ricavare tantissime informazioni circa la soluzione stessa e, in casi semplici (come quello in esame), puoi anche riuscire esplicitamente la soluzione in termini elementari.
Ad esempio, dalla EDO tiriamo subito fuori che la \(u(\cdot ;0,\ln 3)\) è strettamente crescente in \(]X_-,X^+[\).

Infatti, dato che \(u(\cdot; 0,\ln 3)\) soddisfa localmente la EDO, abbiamo:
\[
u^\prime (x;0,\ln 3) = 2\ e^{-u(x;0,\ln 3)} >0
\]
per ogni \(x\in ]X_-,X^+[\) e l'asserto sulla monotonia segue dal segno positivo della derivata.

Però, possiamo pure dire che \(u(\cdot ;0,\ln 3)\) è strettamente concava in \(]X_-,X^+[\).

Infatti, dall'uguaglianza:
\[
u^\prime (x;0,\ln 3) = 2\ e^{-u(x;0,\ln 3)}\; ,
\]
dalla definizione di soluzione per la EDO e dal teorema di derivazione delle funzioni composte, segue che \(u^\prime(\cdot ;0,\ln 3)\) è una funzione derivabile in \(]X_-,X^+[\) e che si ha:
\[
u^{\prime \prime} (x;0,\ln 3) = - 2\ u^\prime (x;0,\ln 3)\ e^{-u(x;0,\ln 3)}
\]
ossia (sostituendo \(u^\prime (x;0,\ln 3) = 2\ e^{-u(x;0,\ln 3)}\)):
\[
u^{\prime \prime} (x;0,\ln 3) = - 4\ e^{-2\ u(x;0,\ln 3)}\; ;
\]
ciò implica che la derivata seconda della \(u(\cdot ;0,\ln 3)\) è negativa e l'asserto segue.

Oppure, possiamo dire subito che la soluzione massimale è una funzione di classe \(C^\infty (]X_-,X^+[)\).

Per dimostrare ciò, usiamo un ragionamento induttivo, che generalizza quello usato sopra per provare che la \(u(\cdot;0,\ln 3)\) è derivabile due volte.
Invero, poiché \(u(\cdot; 0,\ln 3)\) è (per definizione di soluzione) continua e derivabile, dall'uguaglianza:
\[
\tag{1}
u^\prime (x;0,\ln 3) = 2\ e^{-u(x;0,\ln 3)}
\]
soddisfatta in \(]X_-,X^+[\) segue che \(u^\prime (\cdot ; 0,\ln 3)\) è una funzione continua (poiché il secondo membro della (1) è una funzione composta da funzioni continue), dunque \(u(\cdot; 0, \ln 3)\) è di classe \(C^1\); d'altra parte, il secondo membro della (1) è una funzione composta da funzioni derivabili, quindi per il teorema di derivazione della funzione composta troviamo che \(u^\prime (\cdot ;0,\ln 3)\) è derivabile e che vale l'uguaglianza:
\[
u^{\prime \prime} (x;0,\ln 3) = - 2\ u^\prime (x;0,\ln 3)\ e^{-u(x;0,\ln 3)}
\]
la quale, usando la (1), si riscrive:
\[
\tag{2}
u^{\prime \prime} (x;0,\ln 3) = - 2\ e^{-2\ u(x;0,\ln 3)}
\]
ed è soddisfatta in \(]X_-,X^+[\); da ciò segue che \(u^{\prime \prime} (\cdot ;0,\ln 3)\) è una funzione continua e derivabile, sicché \(u(\cdot ;0,\ln 3)\) è di classe \(C^2\) e derivando la (2) troviamo:
\[
u^{\prime \prime \prime} (x;0,\ln 3) = 4\ u^\prime (x;0,\ln 3)\ e^{-2\ u(x;0,\ln 3)}
\]
ossia:
\[
\tag{3}
u^{\prime \prime \prime} (x;0,\ln 3) = 4\ e^{-3\ u(x;0,\ln 3)}
\]
soddisfatta in \(]X_-,X^+[\); da ciò segue che \(u^{\prime \prime \prime} (\cdot ;0,\ln 3)\) è continua e derivabile, sicché \(u(\cdot ;0,\ln 3)\) è di classe \(C^3\) e la derivata quarta si calcola derivando membro a membro la (3):
\[
\tag{4}
u^{(4)} (x;0,\ln 3) = -12\ e^{-4\ u(x;0,\ln 3)}
\]
e ciò importa che \(u(\cdot ;0,\ln 3)\) è di classe \(C^4\) e che la derivata quinta può essere calcolata derivando la (4)... In generale, supposto che \(u(\cdot ;0,\ln 3)\) sia di classe \(C^n\) e che valga:
\[
\tag{n}
u^{(n)} (x;0,\ln 3) = 2\ (-1)^{n-1}\ (n-1)!\ e^{-n\ u(x;0,\ln 3)}
\]
in \(]X_-,X^+[\), dalla (n) e dalla (1) segue che \(u(\cdot ;0,\ln 3)\) è di classe \(C^{n+1}\) e che:
\[
\begin{split}
u^{(n+1)} (x;0,\ln 3) &= 2\ (-1)^{n-1}\ (n-1)!\ (-n)\ u^\prime (x;0,\ln 3)\ e^{-n\ u(x;0,\ln 3)}\\
&= 2\ (-1)^n\ n!\ e^{-(n+1)\ u(x;0,\ln 3)}
\end{split}
\]
in \(]X_-,X^+[\), cosicché \(u(\cdot ;0,\ln 3)\) è di classe \(C^{n+1}\) ed è derivabile \(n+2\) volte...
Questo passo induttivo, unito a quanto provato sopra per le prime quattro derivate, mostra che la proposizione:

"\(u(\cdot ;0,\ln 3)\) è di classe \(C^n(]X_-,X^+[)\)"

[/list:u:7dk7g4vv]

è vera per ogni \(n\); pertanto \(u(\cdot; 0,\ln 3)\) è in \(C^\infty\).

Altre cosette si potrebbero fare, ma questo era un esempio, tanto per farti capire lo spirito della cosa...
Ovviamente, queste informazioni da sole non bastano a disegnare un grafico preciso di \(u(\cdot; 0,\ln 3)\), però possono essere usate come controllo.

Un'altra cosa sensata che possiamo fare usando la EDO e la condizione iniziale è (tentare di) calcolarne esplicitamente la soluzione massimale.
La soluzione massimale soddisfa l'uguaglianza:
\[
u^\prime (x;0,\ln 3) = 2\ e^{-u(x;0,\ln 3)}\; ,
\]
dalla quale equivale a dire che:
\[
u^\prime (x;0,\ln 3)\ e^{u(x;0,\ln 3)} = 2\; .
\]
L'ultima uguaglianza ti sta dicendo che la funzione continua \(u^\prime (x;0,\ln 3)\ e^{u(x;0,\ln 3)}\) coincide in tutto \(]X_-,X^+[\) con l'applicazione costante che prende il valore \(2\); da ciò segue che pure le funzioni integrali di punto iniziale \(0\) di tali applicazioni coincidono, cioé che vale l'uguaglianza:
\[
\int_0^x u^\prime (t;0,\ln 3)\ e^{u(t;0,\ln 3)}\ \text{d} t = \int_0^x 2\ \text{d} t
\]
per ogni \(x\in ]X_-,X^+[\).
La seconda funzione integrale si calcola immediatamente, poiché:
\[
\int_0^x 2\ \text{d} t = 2x\; ;
\]
per calcolare quella al primo membro, invece, basta usare il cambiamento di variabile \(\tau = u(t;0,\ln 3)\) nell'integrale definito e ricordare che \(u(\cdot ;0,\ln 3)\) soddisfa la condizione inisiale del PdC originario, i.e. \(u(0;0,\ln 3)=\ln 3\):
\[
\begin{split}
\int_0^x u^\prime (t;0,\ln 3)\ e^{u(t;0,\ln 3)}\ \text{d} t &\stackrel{\tau =u(t;0,\ln 3)}{=} \int_{u(0;0,\ln 3)}^{u(x;0,\ln 3)} e^\tau\ \text{d} \tau\\
&= e^\tau \Big|_{u(0;0,\ln 3)}^{u(x;0,\ln 3)}\\
&= e^{u(x;0,\ln 3)} - e^{u(0;0,\ln 3)}
&= e^{u(x;0,\ln 3)} - 3\; ;
\end{split}
\]
pertanto dalla EDO segue:
\[
\tag{I}
e^{u(x;0,\ln 3)} - 3 = 2x
\]
per ogni \(x\in ]X_-,X^+[\), la quale è la soluzione massimale del PdC originario scritta in forma esplicita.
Per determinare esplicitamente \(u(\cdot;0,\ln 3)\) basta risolvere la (I) rispetto a \(u=u(x;0,\ln 3)\), il che è molto facile poiché (I) è una semplice equazione esponenziale. L'equazione:
\[
e^u-3=2x\quad \Leftrightarrow \quad e^u=2x+3
\]
ha soluzione unica solo se \(2x+3>0\), cioé solo se \(x>-3/2\), e tale soluzione è:
\[
u=\ln (2x+3)\; ;
\]
pertanto la soluzione massimale del PdC assegnato è quella che assegna:
\[
\tag{S}
u(x;0,\ln 3) = \ln (2x+3)
\]
ad ogni \(x\in ]X_-,X^+[=]-3/2,\infty[\).

Dalla (S) segue che la \(u(\cdot ;0,\ln 3)\) soddisfa tutte le proprietà qualitative che avevamo dimostrato "a priori" (cioé quando non conoscevamo esplicitamente la soluzione), perché essa è una funzione logaritmica.

[N56VZ]

Ti ringrazio per l'esaustiva e completissima risposta, adesso vedo le cose in maniera nettamente più chiara.
Grazie mille!!