Dubbio eq. ricorrenza

[gugione]

Ciao,

ho un dubbio su un eq. di ricorrenza che spero possiate aiutarmi a risolvere

$\{(a_(n+1) = \sum_{k=0}^n a_k + 1),(a_0 = 1):}$

è la serie $\sum_{k=0}^n a_k $ la causa del mio dubbio...come mi ci devo comportare?

$a_(n+1) = \sum_{k=0}^n a_k + 1$
$ \sum_{n=0}^n a_(n+1) x^n = \sum_{n=0}^n \sum_{k=0}^n a_k x^n + \sum_{n=0}^n x^n$

E come si risolve quella doppia serie?? Io l'ho risolta partendo da questa...(vedi sotto)

$ \sum_{n=0}^n a_(n+1) x^n = \sum_{n=0}^n a_n x^n + \sum_{n=0}^n x^n$

Ma non sono sicuro neanche di ciò...
Ci mi aiuta a capire la corretta impostazione di partenza? Poi la risolvo io
Grazie

[Plepp]

Non si capisce cosa ci devi fare con questa successione In ogni caso la formuletta la trovi osservando che
\[a_n =\sum_{k=0}^{n-1} a_k+1=\sum_{k=0}^{n-2} a_k+1+a_{n-1}=a_{n-1}+a_{n-1}=\\
=2a_{n-1}=4a_{n-2}=\{\text{INDUZIONE - MODE ON}\}=2^na_0=2^n\]

[gugione]

Penso che con la formuletta tu mi abbia dato l'informazione che cercavo
Grazie!! Domani svolgo l'esercizio

[gugione]

ciao,

ho risolto l'eq. di ricorrenza. Mi potresti controllare se sia giusta o meno? Ho un piccolo dubbio che non mi torna sui conti...non vorrei aver fatto qualche castroneria XD

$\{(a_(n+1) = 2^n + 1),(a_0 = 1):}$

$\sum_{n=0} a_(n+1) x^n = \sum_{n=0} 2^n x^n + \sum_{n=0} x^n$

Io so che $\sum_{n=0} a_(n+1) x^n = 1/x(\sum_{n=0} a_(n+1) x^(n+1) - a_0) = 1/x(f(x) - 1) = 1/x(f(x)) - 1/x$
$\sum_{n=0} 2^n x^n = 1/(1-2x)$
$\sum_{n=0} x^n = 1/(1-x)$

E fin qui mi sembra corretto. Svolgo i calcoli:
$1/x(f(x)) - 1/x = 1/(1 - 2x) + 1/(1-x)$

$1/x(f(x)) - 1/x = (1 - x + 1 - 2x)/((1-x)(1-2x)) = 1/x(f(x)) - 1/x = (-3x + 2)/((1-x)(1-2x))$

$f(x) = (-3x^2 + 2x)/((1-x)(1-2x)) + 1 = (-3x^2 + 2x + (1-x)(1-2x))/((1-x)(1-2x)) = (-x^2 - x + 1)/((1-x)(1-2x))$

Ora proseguo con i fratti semplici
$f(x) = A/(1-x) + B(1-2x) = A(1-2x) + B(1-x)$
Svolgendo i conti ottengo $A = 0$ e $B = 1$
Quindi: $f(x) = 1/(1-2x) = \sum_{n=0} (2x)^n = \sum_{n=0} 2^n x^$
dove $a_n = 2^n$
Cosa ne dici?
Grazie per il tuo tempo e l'eventuale riposta