Dubbio eq. diff. primo ordine

[mobley]

Buon pomeriggio ragazzi, ho un problema con questo problema di Cauchy: $ { ( y'(x)=\sqrt((x+y(x))^3)-1 ),( y(1)=3 ):} $ .
Imponendo $x+y=z$, da cui $y'=z'-1$, ottengo l'equazione a variabili separabili $ intdz/\sqrt(z^3)=intdx $. Svolgendo ottengo $ -2/\sqrt(z)=x+c$, per cui $y=4/(x+c)^2-x$.
Tuttavia il professore, svolgendo l'equazione tramite integrale definito, ha ottenuto $y=(1/(1-1/2x))-x$.

Dove sto sbagliando? Eppure mi sembra corretto lo svolgimento… Grazie mille a chi di voi vorrà aiutarmi!

[Bokonon]

Ma hai provato a verificare la soluzione del prof?
Al massimo verrebbe fuori $y^{\prime}=1/2(y+x)^2-1$

[pilloeffe]

Ciao mobley,

Naturalmente l'equazione proposta ha senso se $z := x + y > 0 \implies y > - x $
Dunque la tua soluzione mi pare corretta:

$y(x) = 4/(x+c)^2-x $

Dato poi che si trova $c = - 2 $, quella del tuo professore mi pare la soluzione del PdC ove è stato dimenticato (non so se da lui o da te... ) un quadrato:

$ y(x) = 4/(x - 2)^2-x = 2^2/(2 - x)^2-x = 1/(\frac{2 - x}{2})^2-x = (1/(1-1/2x))^2 - x $

[mobley]

Grazie mille pilloeffe! Quindi era sufficiente considerare quel $4$ come una potenza e poi applicarne la relativa proprietà… Tutto chiaro!