Dubbio emma di Poincaré e insieme semplicemente connessi
Salve a tutti,
il mio dubbio parte dal fatto che su alcuni testi ho trovato la definizione di sottoinsieme di $\mathbb{R}^n$ semplicemente connesso come insieme connesso (per archi) e tale che ogni curva chiusa è contrabile ad un punto tramite un omotopia, mentre su altri libri non si richiede esplicitamente che l'insieme sia per definizione connesso.
Ora, la mia domanda è se il lemma di Poincaré è stato enunciato per campi definiti su un semplicemente connesso che non sia per forza anche connesso.
Grazie a chi vorrebbe darmi una mano.
il mio dubbio parte dal fatto che su alcuni testi ho trovato la definizione di sottoinsieme di $\mathbb{R}^n$ semplicemente connesso come insieme connesso (per archi) e tale che ogni curva chiusa è contrabile ad un punto tramite un omotopia, mentre su altri libri non si richiede esplicitamente che l'insieme sia per definizione connesso.
Ora, la mia domanda è se il lemma di Poincaré è stato enunciato per campi definiti su un semplicemente connesso che non sia per forza anche connesso.
Grazie a chi vorrebbe darmi una mano.
Risposte
Uno spazio topologico semplicemente connesso è per definizione anche connesso per archi e quindi connesso.
Nella stessa definizione, utilizzando le omotopie di cammini chiusi, i cammini sono considerati continui (altrimenti, che senso avrebbe il ragionamento?).
Nella stessa definizione, utilizzando le omotopie di cammini chiusi, i cammini sono considerati continui (altrimenti, che senso avrebbe il ragionamento?).
No vabbè in effetti a rigore uno può avere un insieme costituito da più componenti connesse, tutte semplicemente connesse, e lì ogni cammino chiuso è omotopo a un punto. C'è chi considere una roba del genere come un insieme semplicemente connesso. Del resto il lemma di Poincaré vale anche in questo caso: c'è una primitiva su ogni componente connessa e quindi una primitiva globale.
E' solo questione di mettersi d'accordo sulle definizioni
E' solo questione di mettersi d'accordo sulle definizioni
Ciao,
grazie della tua risposta. In realtà ho trovato diversi libri in cui non si richiede per definizione che l'insieme sia connesso per archi (oppure hanno dimenticato di esplicitarlo?)... Ma che presa una curva chiusa tutta contenuta nel dominio, allora esiste una omotopia che può "contrarre" la curva in un punto (in poche parole). Quindi, per farci un esempio, $\mathbb{R}^3$ meno il piano $z=0$ non è connesso per archi ma sarebbe semplicemente connesso (nel senso che una curva chiusa tutta contenuta in questo dominio è contraibile con continuità ad un punto). Quindi, il Lemma di Poincàre si potrebbe appllicare nelle due parti connesse e semplicemente connesse del dominio. Quindi, in fondo è come dire su tutto il dominio?
grazie della tua risposta. In realtà ho trovato diversi libri in cui non si richiede per definizione che l'insieme sia connesso per archi (oppure hanno dimenticato di esplicitarlo?)... Ma che presa una curva chiusa tutta contenuta nel dominio, allora esiste una omotopia che può "contrarre" la curva in un punto (in poche parole). Quindi, per farci un esempio, $\mathbb{R}^3$ meno il piano $z=0$ non è connesso per archi ma sarebbe semplicemente connesso (nel senso che una curva chiusa tutta contenuta in questo dominio è contraibile con continuità ad un punto). Quindi, il Lemma di Poincàre si potrebbe appllicare nelle due parti connesse e semplicemente connesse del dominio. Quindi, in fondo è come dire su tutto il dominio?
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