Dubbio dominio integrale doppio
Ciao a tutti,
ho un dubbio riguardante il dominio dell'integrale qui sotto descritto:
$ int int_(T) 2|x|y dx dy $ dove T corrisponde ai vertici: $ (-2,0),(0,2),(2,0) $ che corrispondo ai vertici di un triangolo simmetrico rispetto all'asse y e dunque $ T={ (x,y) in cc(R) ^2: -2 leq x leq 2, 0 leq y leq -x+2 } $ ma non so se è corretto il dominio scritto in questo modo...anche perché questo significa che quando la x vale -2, la y varia tra 0 e 4 e non è corretto.
qualcuno mi può spiegare come individuare correttamente il dominio?
Grazie a tutti
ho un dubbio riguardante il dominio dell'integrale qui sotto descritto:
$ int int_(T) 2|x|y dx dy $ dove T corrisponde ai vertici: $ (-2,0),(0,2),(2,0) $ che corrispondo ai vertici di un triangolo simmetrico rispetto all'asse y e dunque $ T={ (x,y) in cc(R) ^2: -2 leq x leq 2, 0 leq y leq -x+2 } $ ma non so se è corretto il dominio scritto in questo modo...anche perché questo significa che quando la x vale -2, la y varia tra 0 e 4 e non è corretto.
qualcuno mi può spiegare come individuare correttamente il dominio?
Grazie a tutti
Risposte
Data la simmetria, se noti dal disegno, il tuo dominio puoi vederlo come l'area del triangolo che sta nel primo quadrante, per capirci quello che ha per vertici $(0,0) , (0,2), (2,0)$, e moltiplichi per due. In questo modo il dominio sarà:
$A={(x,y) in RR^2 : 0<=x<=2, 0<=y<=2-x}$
vedi se ti trovi...
EDIT: tra l'altro in questo modo si risolve anche il problema di quel valore assoluto che sta nell'integrale!
$A={(x,y) in RR^2 : 0<=x<=2, 0<=y<=2-x}$
vedi se ti trovi...
EDIT: tra l'altro in questo modo si risolve anche il problema di quel valore assoluto che sta nell'integrale!
si effettivamente mi ritrovo ma non mi trovo con il risultato finale, correggimi dove ho sbagliato:
$ 4 int_(0)^(2) int_(0)^(-x+2) x y dx dy = 4 int_(0)^2 x dx int_(0)^(-x+2) y dy $ che integrando y e successivamente x diventa: $ 4 int_(0)^(2) x dx [ y^2/2 ]_0^(-x+2)= 4([x^2/2]_0^2 [y^2/2]_(0)^(-x+2)) $
ma ora visto che y dipende da x la logica mi suggerisce di sostituire ad x i valori e sottrarre in questo modo:
$ 4((2^2/2)-(0^2/2))[y^2/2]_0^(-x+2)=4((2)(0^2/2-0^2/2))=0 $ che non è esatto (ho verificato il risultato finale con wolfram).
$ 4 int_(0)^(2) int_(0)^(-x+2) x y dx dy = 4 int_(0)^2 x dx int_(0)^(-x+2) y dy $ che integrando y e successivamente x diventa: $ 4 int_(0)^(2) x dx [ y^2/2 ]_0^(-x+2)= 4([x^2/2]_0^2 [y^2/2]_(0)^(-x+2)) $
ma ora visto che y dipende da x la logica mi suggerisce di sostituire ad x i valori e sottrarre in questo modo:
$ 4((2^2/2)-(0^2/2))[y^2/2]_0^(-x+2)=4((2)(0^2/2-0^2/2))=0 $ che non è esatto (ho verificato il risultato finale con wolfram).
Io non mi trovo il modo in cui tu fai gli integrali O.o
Il primo pezzo me lo trovo poi quando arrivi qui $4int_(0)^(2)x[y^2/2]_(0)^(2-x)dx$ fai un macello.
Il tuo errore sta nel non applicare il teorema fondamentale del calcolo integrale, cioè quando tu integri rispetto alla y, poi dopo devi sostituire gli estremi di integrazione nella primitiva altrimenti non ha senso. Quindi il passaggio corretto è:
$4int_(0)^(2)x(2-x)^2/2dx= 2int_(0)^(2)x(2-x)^2dx$
Svolgi il quadrato e fai i calcoli...
Il primo pezzo me lo trovo poi quando arrivi qui $4int_(0)^(2)x[y^2/2]_(0)^(2-x)dx$ fai un macello.
Il tuo errore sta nel non applicare il teorema fondamentale del calcolo integrale, cioè quando tu integri rispetto alla y, poi dopo devi sostituire gli estremi di integrazione nella primitiva altrimenti non ha senso. Quindi il passaggio corretto è:
$4int_(0)^(2)x(2-x)^2/2dx= 2int_(0)^(2)x(2-x)^2dx$
Svolgi il quadrato e fai i calcoli...
ok dovrei esserci, dimmi se è corretto così:
$ 2int_(0)^(2) x(x^2-4x+4) dx = 2int_0^2 (x^3-4x^2+4x) dx=2int_0^2x^3 dx -8 int_0^2x^2 dx+8int_0^2 x dx$ che integrando risulta:
$ 2[ x^4/4 ]_0^2-8[x^3/3]_0^2+8[x^2/2]_0^2 = 2[4]-8[8/3]+8[2]=8-64/3+16=8/3 $
$ 2int_(0)^(2) x(x^2-4x+4) dx = 2int_0^2 (x^3-4x^2+4x) dx=2int_0^2x^3 dx -8 int_0^2x^2 dx+8int_0^2 x dx$ che integrando risulta:
$ 2[ x^4/4 ]_0^2-8[x^3/3]_0^2+8[x^2/2]_0^2 = 2[4]-8[8/3]+8[2]=8-64/3+16=8/3 $
Si il procedimento è questo....
Perfetto! Grazie mille!
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