Dubbio dominio di funzione in due variabili
Buongiorno a tutti, ho un dubbio che non riesco a chiarificare. Praticamente devo studiare il dominio della funzione:
f(x,y) = sqrt(y^2-x^4)
Sappiamo che la radice deve avere argomento non negativo e quindi maggiore o uguale a zero:
$y^2-x^4>=0$
Da qui ottengo:
$y^2>=x^4$
Essendo delle quantità sicuramente positive o nulle, essendo potenze di indice pari ottengo:
$y>= x^2$
Ma dal libro noto che dovrei avere:
$y>= +- x^2$
Perché allora dovrei avere cosi? Non sono quantità sicuro positive e posso scindere la radice in una quantità positiva? perché dovrei considerare il modulo? Scusate la domanda banale, vorrei solo un input per poter capire.
f(x,y) = sqrt(y^2-x^4)
Sappiamo che la radice deve avere argomento non negativo e quindi maggiore o uguale a zero:
$y^2-x^4>=0$
Da qui ottengo:
$y^2>=x^4$
Essendo delle quantità sicuramente positive o nulle, essendo potenze di indice pari ottengo:
$y>= x^2$
Ma dal libro noto che dovrei avere:
$y>= +- x^2$
Perché allora dovrei avere cosi? Non sono quantità sicuro positive e posso scindere la radice in una quantità positiva? perché dovrei considerare il modulo? Scusate la domanda banale, vorrei solo un input per poter capire.
Risposte
Il modo migliore per sbrogliare il quesito senza mettere in mezzo le radici e' notare che \[ y^2 - x^4 = (y-x^2)(y+x^2).\] Di conseguenza \[ y^2 - x^4 \ge 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \begin{cases} y \ge x^2 \\ y \ge -x^2 \end{cases} \quad \text{ o } \quad \begin{cases} y \le x^2 \\ y \le -x^2. \end{cases} \]
[xdom="Raptorista"]Sposto da Analisi superiore.[/xdom]
Pure il libro é sbagliato, se davvero dice quello. Questa é una disequazione di secondo grado e non dovresti confonderti, vediamola nel dettaglio. Abbiamo \(y^2\ge x^4\). Questo é equivalente a \(\sqrt{y^2}\ge \sqrt{x^4}\), dato che tanto \(y^2\) quanto \(x^2\) sono quantitá positive. Ora togliamo le radici e ci ricordiamo che
\[\sqrt{y^2}=\lvert y \rvert.\]
Questo é molto importante, cerca di non scordarlo piú. Scrivere \(\sqrt{y^2}=y\) é sbagliato, perché \(y\) potrebbe essere negativa, mentre \(\sqrt{y^2}\) deve essere sempre nonnegativa.
Abbiamo riscritto l'equazione nella forma equivalente \(\lvert y \rvert \ge x^2\). Ora é solo questione di ricordare la definizione di valore assoluto, da cui
\[
y\ge x^2\quad \text{oppure}\quad y\le -x^2,\]
lo stesso risultato di 080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6.
\[\sqrt{y^2}=\lvert y \rvert.\]
Questo é molto importante, cerca di non scordarlo piú. Scrivere \(\sqrt{y^2}=y\) é sbagliato, perché \(y\) potrebbe essere negativa, mentre \(\sqrt{y^2}\) deve essere sempre nonnegativa.
Abbiamo riscritto l'equazione nella forma equivalente \(\lvert y \rvert \ge x^2\). Ora é solo questione di ricordare la definizione di valore assoluto, da cui
\[
y\ge x^2\quad \text{oppure}\quad y\le -x^2,\]
lo stesso risultato di 080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6.
"Ster24":
$y^2-x^4>=0$
Da qui ottengo:
$y^2>=x^4$
Essendo delle quantità sicuramente positive o nulle, essendo potenze di indice pari ottengo:
$y>= x^2$
Un insegnante di seconda superiore prende il CoViD ogni volta che uno studente scrive cose simili...
"Ster24":
Ma dal libro noto che dovrei avere:
$y>= +- x^2$
Quando la soluzione è peggiore del male...
Se davvero il tuo testo scrive una cosa simile, buttalo nell'immondizia e prendine uno serio.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo