Dubbio Dimostrazione Teorema Invertibilita' Locale

[M.C.D.1]

Buongiorno
Stavo leggendo la dimostrazione del teorema di invertibilita' locale per le funzioni implicite
ed ho alcuni dubbi che non riesco a chiarire in merito ad alcuni passaggi della dimostrazione

$A$ aperto di $ cc(R)^{n} $ ed $f: A -> cc(R)^{n}$ di classe $C^1(A)$ sia $x_0 in A$
Supponiamo che il determinante Jacobiano sia non nullo in $x_0$

Inizia col dimostrare che esiste un intorno di $x_0$ in cui $f$ e' iniettiva
Dunque dice che in caso contrario esisterebbero per ogni $k in N$ $x^1_k , x^(2)_k in B_(1/k)(x_0)$ tali che $f(x^1_k) = f(x^(2)_k)$.
Per il teorema di lagrange applicato alle componenti $f_i$ esiste $x^i_k in B_(1/k)(x_0) $ tale che $(Df_i(x^i_k), x^(2)_k - x^1_k) = 0$
a questo punto c'e' la parte che non capisco, dice:
posto $v_k = (x^(2)_k - x^1_k)/| x^(2)_k - x^1_k| $ esiste un estratta $v_(k_r)$ convergente ad un $v_0$ con $|v_0| = 1$
Anzitutto non capisco perche' esiste tale estratta convergente a quel versore.
Poi prosegue, poiche' $x^i_(k_r) -> x_0$ si ha passando al limite che $(Df_i(x_0), v_0) = 0$
Questi ultimi due passaggi mi sono oscuri.

Qualcuno mi darebbe una mano?
Ringrazio anticipatamente

[Pappappero1]

Il primo passaggio dovrebbe essere semplicemente per Bolzano-Weierstrass (o meglio per compattezza): i $v_k$ sono tutti limitati (in particolare di norma $1$) e quindi la loro successione ammette un'estratta convergente. Inoltre poiché la norma è una funzione continua è evidente che il limite dell'estratta ha norma $1$.

Il secondo passaggio si ha per continuità: la successione $x_{k_r}$ converge a $x_0$ perché l'$r$-esimo punto sta nella palla $B_{1/k_r}(x_0)$ e poiché $f$ è almeno $C^1$ si ha che $Df_i (x_{k}) \to Df_i (x_0)$.