Dubbio dimostrazione teorema iniettività
Ciao a tutti! Ho un problema con questo teorema sull'iniettività che implica la monotonia. Non ci ho proprio capito nulla. Gia all'inizio non capisco perchè dice "pur essendo iniettiva",visto che che è quello che dobbiamo dimostrare. Grazie per l'eventuale aiuto. 
Teorema 5.3.7 Se f : I → R è una funzione continua su un intervallo I, allora f è iniettiva se e solo
se f è strettamente monotona.
Dimostrazione: Dobbiamo provare che l’iniettivita implica la stretta monotonia, l’altra implicazione
essendo vera in generale. Usando la contronominale, dobbiamo dunque dimostrare che data una funzione
f continua su I, se f non è strettamente monotona allora f non è iniettiva.
Poichè f non è nè strettamente crescente nè strettamente decrescente, pur essendo iniettiva, allora
½
∃ x0, y0 ∈ I : x0 < y0 e f(x0) > f(y0)
∃ x1, y1 ∈ I : x1 < y1 e f(x1) < f(y1) .
Consideriamo le funzioni x(t) e y(t) definite sull’intervallo [0, 1] e che parametrizzano i segmenti di estremi
x0, x1 e y0, y1, rispettivamente:
x(t) = x0 + t(x1 − x0), y(t) = y0 + t(y1 − y0), t ∈ [0, 1] .
Tali funzioni sono continue ed inoltre risulta x(t) < y(t) per ogni t ∈ [0, 1]. Infatti per t = 0 abbiamo
x(0) = x0 < y0 = y(0), mentre x(1) = x1 < y1 = y(1) per t = 1. Se invece 0 < t < 1, anche 0 < 1 − t < 1
e scriviamo
y(t) − x(t) = t(y1 − x1) + (1 − t)(x0 − y0) > 0 .
Quindi per ogni t ∈ [0, 1] l’intervallo [x(t), y(t)] è non degenere e contenuto in I. Infatti, x(t) ∈ I e
y(t) ∈ I essendo contenuti negli intervalli di estremi x0, x1 ∈ I e y0, y1 ∈ I, dunque [x(t), y(t)] ⊂ I per
ogni t essendo I un intervallo.
Introduciamo allora la funzione F : [0, 1] → R definita da F(t) = f(y(t)) − f(x(t)). Da quanto visto
deduciamo che F è continua su [0, 1], come somma di funzioni che sono composizione di due funzioni
continue. Inoltre F(0) = f(y0) − f(x0) < 0 mentre F(1) = f(y1) − f(x1) > 0. Allora per il teorema
di esistenza degli zeri esiste un punto t ∈ [0, 1] tale che F(t) = 0, i.e., f(y(t)) = f(x(t)), ma questo è un
assurdo, in quanto f è iniettiva su I mentre x(t) < y(t), con x(t), y(t) ∈ I.
Teorema 5.3.7 Se f : I → R è una funzione continua su un intervallo I, allora f è iniettiva se e solo
se f è strettamente monotona.
Dimostrazione: Dobbiamo provare che l’iniettivita implica la stretta monotonia, l’altra implicazione
essendo vera in generale. Usando la contronominale, dobbiamo dunque dimostrare che data una funzione
f continua su I, se f non è strettamente monotona allora f non è iniettiva.
Poichè f non è nè strettamente crescente nè strettamente decrescente, pur essendo iniettiva, allora
½
∃ x0, y0 ∈ I : x0 < y0 e f(x0) > f(y0)
∃ x1, y1 ∈ I : x1 < y1 e f(x1) < f(y1) .
Consideriamo le funzioni x(t) e y(t) definite sull’intervallo [0, 1] e che parametrizzano i segmenti di estremi
x0, x1 e y0, y1, rispettivamente:
x(t) = x0 + t(x1 − x0), y(t) = y0 + t(y1 − y0), t ∈ [0, 1] .
Tali funzioni sono continue ed inoltre risulta x(t) < y(t) per ogni t ∈ [0, 1]. Infatti per t = 0 abbiamo
x(0) = x0 < y0 = y(0), mentre x(1) = x1 < y1 = y(1) per t = 1. Se invece 0 < t < 1, anche 0 < 1 − t < 1
e scriviamo
y(t) − x(t) = t(y1 − x1) + (1 − t)(x0 − y0) > 0 .
Quindi per ogni t ∈ [0, 1] l’intervallo [x(t), y(t)] è non degenere e contenuto in I. Infatti, x(t) ∈ I e
y(t) ∈ I essendo contenuti negli intervalli di estremi x0, x1 ∈ I e y0, y1 ∈ I, dunque [x(t), y(t)] ⊂ I per
ogni t essendo I un intervallo.
Introduciamo allora la funzione F : [0, 1] → R definita da F(t) = f(y(t)) − f(x(t)). Da quanto visto
deduciamo che F è continua su [0, 1], come somma di funzioni che sono composizione di due funzioni
continue. Inoltre F(0) = f(y0) − f(x0) < 0 mentre F(1) = f(y1) − f(x1) > 0. Allora per il teorema
di esistenza degli zeri esiste un punto t ∈ [0, 1] tale che F(t) = 0, i.e., f(y(t)) = f(x(t)), ma questo è un
assurdo, in quanto f è iniettiva su I mentre x(t) < y(t), con x(t), y(t) ∈ I.
Risposte
Vuole dimostrare un se e solo se, ossia che una implica l'altra (è quindi un'equivalenza logica tra le due proposizioni); quindi prima supponi che valga una e dimostri l'altra, poi supponi che valga l'altra e dimostri la prima.
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