Dubbio dimostrazione serie

[Summerwind78]

Ciao a tutti

sto studiando una dimostrazione e non capisco bene che proprietà venga utilizzata durante un passaggio

la dimostrazione che voglio ottenere è

[tex]\displaystyle (1-q)\sum_{k=0}^{n} q^{k} = 1-q^{n+1}[/tex]

distribuisco la serie all'interno della parentesi e ottengo

[tex]\displaystyle \sum_{k=0}^{n} q^{k}-q\sum_{k=0}^{n} q^{k}[/tex]

poi porto il termine costante $q$ dentro la sommatoria e raggruppo gli esponenti

[tex]\displaystyle \sum_{k=0}^{n} q^{k}-\sum_{k=0}^{n} q^{k+1} = 1+ \sum_{k=1}^{n} q^{k}-\sum_{k=0}^{n} q^{k+1} = 1+ \sum_{k=1}^{n} q^{k}-\sum_{k=0}^{n-1} q^{k+1} - q^{n+1}[/tex]

a questo punto il mio libro fa questo passaggio

[tex]\displaystyle1+ \sum_{k=1}^{n} q^{k}-\sum_{k=0}^{n-1} q^{k+1} - q^{n+1} = \sum_{k=1}^{n} q^{k}-\sum_{k=1}^{n} q^{k} - q^{n+1}[/tex]

ed è qui che mi perdo

in che modo passa da [tex]\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} q^{k+1}[/tex] a [tex]\displaystyle \sum_{k=1}^{n} q^{k}[/tex]

forse è una passaggio banale ma in questo momento non lo vedo

Grazie a tutti

[Emar1]

Prova a scrivere esplicitamente i primi termini di quelle due serie...

EDIT Credo tu abbia dimenticato $1 +$ al secondo membro

[Summerwind78]

hai ragione avevo dimenticato il $-1$


ho capito, grazie