Dubbio dimostrazione L'Hopital

[sradesca]

ho un dubbio sulla dimostrazione di L'Hopital nel caso in cui $x$ tende a $x_0$ e $l in R$: innanzitutto perché bisogna estendere le funzioni per continuità con $0$ nel punto $x_0$? poi si prende una generica successione $x_n$ convergente a $x_0$ $in [a,b]-{x_0} AA n in N$; per Cauchy si ha $(f(x_n)-f(x_0))/(g(x_n)-g(x_0))=(f'(y_n))/(g'(y_n))$ con $y_n in [x_0,x_n]$. Poiché $f(x_0)=0$ e $g(y_0)=0$ si ha $f(x_n)/g(x_n)=(f'(y_n))/(g'(y_n))$. Ora cosa ci assicura che $lim_(n to infty)f(x_n)/g(x_n)=lim_(n to infty) (f'(y_n))/(g'(y_n))$? grazie

[ciampax]

L'estensione poer continuità serve proprio a poter applicare Cauchy (la continuiotà su $[a,b]$ è una delle ipotesi del teorema). Per la seconda, osserva che $x_0\le y_n\le x_n$, ma per $n\to+\infty$ si ha che $x_n\to x_0^+$: ne segue allora che (Teorema dei Carabinieri) anche $\lim_{n\to+\infty} y_n=x_0$ e per il Teorema "Ponte" (alcuni lo chiamano così, sarebbe quello che ti assicura che un limite di funzione è ben definito quando i limiti di tutte le possibili successioni che costruisci hanno lo stesso valore) facendo il limite da una parte e dall'altra ottieni ancora un'uguaglianza (poiché le successioni convergono tutte allo stesso valore $x_0$).