Dubbio dimostrazione Formula Fondamentale del C. I.
Ho trovato questa dimostrazione che dovrebbe essere giusta
Sia f:[a,b] -> R
dal Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale abbiamo che
$F'(x) = f(x)$
e sappiamo anche che $f(x) = G'(x)$ (dove G(x) e' un'altra primitiva)
Per l'operazione di derivata si ha
$F'(x) - G'(x) = 0$
La F(x) e la G(x) differenziano di un costante
$F(x) - G(x) = k$ con k costante appartenente a R
Fin qui tutto chiaro, ma non riesco proprio a capire come fa a fare quest'ultimo passaggio
$F(x) - G(x) = k$ "ovvero" $ F(b)-F(a) = G(b)-G(a) = int_a^bF'(t)dt - int_a^aF'(t)dt = int_a^bF'(t)dt$
Perche' passa all'incremento F(b)-F(a) ? E poi dall'incremento perche' c'e' quell'integrale "da a ad a"
Scusatemi magari questi concetti per voi sono elementari, ma ci sto sopra da ore. Grazie
Sia f:[a,b] -> R
dal Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale abbiamo che
$F'(x) = f(x)$
e sappiamo anche che $f(x) = G'(x)$ (dove G(x) e' un'altra primitiva)
Per l'operazione di derivata si ha
$F'(x) - G'(x) = 0$
La F(x) e la G(x) differenziano di un costante
$F(x) - G(x) = k$ con k costante appartenente a R
Fin qui tutto chiaro, ma non riesco proprio a capire come fa a fare quest'ultimo passaggio
$F(x) - G(x) = k$ "ovvero" $ F(b)-F(a) = G(b)-G(a) = int_a^bF'(t)dt - int_a^aF'(t)dt = int_a^bF'(t)dt$
Perche' passa all'incremento F(b)-F(a) ? E poi dall'incremento perche' c'e' quell'integrale "da a ad a"
Scusatemi magari questi concetti per voi sono elementari, ma ci sto sopra da ore. Grazie
Risposte
Ciao. Tu hai scritto che $F(x)-G(x)=k$, bene ora devi verificare se questo vale nel dominio della $f$ ed in effetti hai che vale anche nel dominio di f. Dov'è il problema?
Allora il passaggio e' questo
$F(x) - G(x) = k => F(b)-F(a) = G(b)-G(a) = int_a^bF'(t)dt - int_a^aF'(t)dt = int_a^bF'(t)dt$
L'ultimo passaggio sull'integrale credo di averlo capito, F(b) e' la primitiva di f(b) quindi F'(b)=f(b) ed integrando F'(b) con una variabile t nell'intervallo [a,b] si ottiene $int_a^bF'(t)dt$; mentre per F(a), si integra con la variabile t nell'intervallo [a,a] quindi viene un'area nulla.
La prima parte invece da $F(x) - G(x) = k$ si passa a $F(b)-F(a) = G(b)-G(a)$ . Perche'? Dov'e' finito k?
$F(x) - G(x) = k => F(b)-F(a) = G(b)-G(a) = int_a^bF'(t)dt - int_a^aF'(t)dt = int_a^bF'(t)dt$
L'ultimo passaggio sull'integrale credo di averlo capito, F(b) e' la primitiva di f(b) quindi F'(b)=f(b) ed integrando F'(b) con una variabile t nell'intervallo [a,b] si ottiene $int_a^bF'(t)dt$; mentre per F(a), si integra con la variabile t nell'intervallo [a,a] quindi viene un'area nulla.
La prima parte invece da $F(x) - G(x) = k$ si passa a $F(b)-F(a) = G(b)-G(a)$ . Perche'? Dov'e' finito k?
\[
F(x) = k + G(x) \Rightarrow F(b) - F(a) = k + G(b) - (k + G(a)) = G(b) - G(a)
\]
È questo che non ti era chiaro?
F(x) = k + G(x) \Rightarrow F(b) - F(a) = k + G(b) - (k + G(a)) = G(b) - G(a)
\]
È questo che non ti era chiaro?
aaahh ora ho capito cosa non ti era chiaro! vabbè ci ha pensato Raptor xD 
P.S. Comunque c'è una dimostrazione (che è quella che ho studiato io) che secondo me è di gran lunga migliore di questa è motlo più chiara e che credo sia la più comune su tutti i libri di analisi come il Marcellini dove ho studiato anche io.
P.S. Comunque c'è una dimostrazione (che è quella che ho studiato io) che secondo me è di gran lunga migliore di questa è motlo più chiara e che credo sia la più comune su tutti i libri di analisi come il Marcellini dove ho studiato anche io.
"Raptorista":
È questo che non ti era chiaro?
Esattamente, grazie mille
"paolotesla91":
P.S. Comunque c'è una dimostrazione (che è quella che ho studiato io) che secondo me è di gran lunga migliore di questa è motlo più chiara e che credo sia la più comune su tutti i libri di analisi come il Marcellini dove ho studiato anche io.
Ne ho trovata un'altra anch'io, forse e' la stessa, ma usa l'integrale di Cauchy con le somme che a lezione non abbiamo fatto.
Nono! non mi riferisco a quella! deve essere un mostro xD eheh
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